Question

usando diretamente o cauculo de limite encontre as derivadas das seguintes funções f (x)=3x-1

Answer 1

Calcular a derivada da função

     f(x) = 3x − 1

utilizando a definição via limites

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Solução:

Por definição, a derivada de  f(x)  é dada pelo cálculo do seguinte limite, nos pontos do domínio de  f  em que esse limite existe:

     $\mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{\big[ 3(x+h)-1\big]-(3x-1)}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{3(x+h)-\!\diagup\!\!\!\! 1-3x+\!\diagup\!\!\!\! 1}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{3(x+h)-3x}{h}}$


Observe que a constante  1  foi cancelada. Isso porque a derivada da constante é igual a zero. Então, o limite acima é

     $\mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{\,\diagup\!\!\!\!\! 3x+3h-\diagup\!\!\!\!\!3x}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{3\!\diagup\!\!\!\! h}{\!\diagup\!\!\!\! h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~3}$

     $\mathsf{\dfrac{df}{dx}=3\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Bons estudos! :-)