Question

Usando diretamente o cálculo de limite encontre as derivadas das seguintes funções:

a) f(x)=3x-1
b) ()=x^2−2

Answer 1

Bom dia!
Vamos usar a definição de derivada:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x) }{\Delta x}$

Agora vamos aplicar isso para as funções:

A) f(x) = 3x - 1

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\\\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{(3(x + \Delta x ) - 1) - (3x - 1)}{\Delta x} = } \\\\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\diagup\!\!\!\!\!3x + 3\Delta x - 1 - \diagup\!\!\!\!\!3x + 1}{\Delta x} = \\\\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{3 \diagup\!\!\!\!\!\!\Delta x }{\diagup\!\!\!\!\!\!\Delta x} \\\\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 3 \\\\ \boxed{\boxed{f'(x) = 3}}$

B)f(x) = x² - 2x
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\\\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{((x + \Delta x)^2 - 2x\Delta x) - (x^2 - 2x ) }{\Delta x}\\\\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{(\diagup\!\!\!\!\!x^2 + 2x\Delta x + \Delta x^2) - 2(x + \Delta x) - \diagup\!\!\!\!\!x^2 + 2x }{\Delta x} \\\\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{2x\Delta x + \Delta x^2 - \diagup\!\!\!\!\!\!2x -2\Delta x + \diagup\!\!\!\!\!2x }{\Delta x}$

Para concluir:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\diagup\!\!\!\!\!2x\Delta x + \diagup\!\!\!\!\!\!\Delta x^2 - \diagup\!\!\!\!\!\!2\Delta x }{\diagup\!\!\!\!\!\!\Delta x} \\\\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 2x + \Delta x - 2 \\\\ f'(x) = 2x - 2$

Answer 2

Calcular a derivada das funções utilizando a definição via limites

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Solução:

Por definição, a derivada de  f(x)  é dada pelo cálculo do seguinte limite, nos pontos do domínio de  f  em que esse limite existe:

     $\mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}$


a)  f(x) = 3x − 1

     $\mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{\big[ 3(x+h)-1\big]-(3x-1)}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{3(x+h)-\!\diagup\!\!\!\! 1-3x+\!\diagup\!\!\!\! 1}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{3(x+h)-3x}{h}}$


Observe que a constante  1  foi cancelada. Isso porque a derivada da constante é igual a zero. Então, o limite acima é

     $\mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{\,\diagup\!\!\!\!\! 3x+3h-\diagup\!\!\!\!\!3x}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{3\!\diagup\!\!\!\! h}{\!\diagup\!\!\!\! h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~3}$

     $\mathsf{\dfrac{df}{dx}=3\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$


b)  f(x) = x² − 2x

     $\mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{\big[(x+h)^2-2(x+h)\big]-(x^2-2x)}{h}}$


Expanda o quadrado da soma que aparece nos colchetes:

     $\mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim} \dfrac{\big[(x^2+2xh+h^2)-2(x+h)\big]-(x^2-2x)}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{\big[x^2+2xh+h^2-2x-2h\big]-(x^2-2x)}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{\diagup\!\!\!\!\! x^2+2xh+h^2-\diagdown\!\!\!\!\! 2x-2h-\diagup\!\!\!\!\! x^2+\diagdown\!\!\!\!\! 2x}{h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{2xh+h^2-2h}{h}}$


Coloque  h  em evidência no numerador e simplifique a fração:

     $\mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~\dfrac{\diagup\!\!\!\! h\cdot (2x+h-2)}{\diagup\!\!\!\! h}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}~(2x+h-2)}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{df}{dx}=2x+0-2}$

     $\mathsf{\dfrac{df}{dx}=2x-2\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Bons estudos! :-)