Question

Usando derivação implícita, calcule y': In( y² + x ) = y³ - x²

Answer 1

Temos a seguinte expressão:

$\sf ln(y {}^{2} + x) = y {}^{3} - x {}^{2}$

A questão nos diz que devemos usar a derivação implícita y', ou seja, sempre que derivarmos a função "y" devemos multiplicar pela derivada da mesma, por exemplo:

• $\sf\frac{d}{dx} (3y^{2} + x^{2}) = 6y.y' + 2x$

Aplicando a derivação implícita:

$\sf ln(y {}^{2} + x ) = y {}^{3} - x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{d}{dx} [ ln(y {}^{2} + x) ] = \frac{d}{dx} (y {}^{3} )- \frac{d}{dx} (x {}^{2} )$

Para derivar a função do Logaritmo natural, usaremos a regra da cadeia:

$\sf \frac{1}{y {}^{2} + x} . \frac{d}{dx} (y {}^{2} + x) = 3y {}^{2} . \frac{d}{dx}y - 2x \\ \\ \sf \frac{1}{y {}^{2} + x } .(2y. \frac{d}{dx} (y) + 1) = 3y{}^{2} . \frac{d}{dx} y - 2x$

Para ficar mais fácil de entender, porque até eu mesmo estou bugando, trocarei a notação dy/dx por y':

$\sf \frac{2y.y' + 1}{y {}^{2} + x} .= 3y {}^{2} .y' - 2x \\ \\ \sf\frac{2y.y ' + 1}{y {}^{2} + x } - (3y {}^{2} .y ')= - 2x \\ \\ \sf \frac{2y. y' + 1 - (3y {}^{2} .y ').(y {}^{2} + x) }{y {}^{2} + x} = - 2x \\ \\ \sf \frac{2y.y ' + 1 - 3y {}^{4}.y' - 3y {}^{2} .y '.x }{y {}^{2} + x} - 2x \\ \\ \sf 2y.y' + 1 - 3y {}^{4} .y' - 3y {}^{2} .y'.x = - 2x.(y {}^{2} + x) \\ \\ \sf 2y.y' + 1 - 3y {}^{4} .y' - 3y {}^{2} .y'.x = - 2xy {}^{2} - 2x {}^{2} \\ \\ \sf 2y.y' - 3y {}^{4} .y' - 3y {}^{2} .y' .x= - 2x y{}^{2} - 2x {}^{2} - 1 \\ \\ \sf y'.(2y - 3y {}^{4} - 3y {}^{2}.x ) = - 2xy {}^{2} - 2x {}^{2} - 1 \\ \\ \boxed{\sf y' = \frac{ - 2x {y}^{2} - 2x {}^{2} - 1 }{2y - 3y {}^{4} - 3y {}^{2} x } }$

Espero ter ajudado