Question

Usando definição precisa de limite, determine o valor de δ quando for atribuido a algum valor ε > 0, que prova que o lim 3x - 12.
x->1

A) ε.

B) ε/3

c) ε/2

d) ε/6

Answer 1

$\lim_{x \to \11} 3x-12=-9 \\ \\ |f(x)-L|\ \textless \ e \\ \\ |3x-12-(-9)|\ \textless \ e \\ \\ 3.|x-1|\ \textless \ e \\ \\ |x-1|\ \textless \ \frac{e}{3} \\ \\ sabendo \ que \ 0\ \textless \ |x-1|\ \textless \ \alpha \ logo \ \alpha = \frac{e}{3} \ alternativa B$

Answer 2

O valor de δ quando for atribuído a algum valor ε > 0, que prova que o $\lim_{x \to 1} 3x-12$ é ε/3.

Ao calcularmos o limite proposto no enunciado, encontramos o valor -9.

O nosso objetivo é encontrarmos um δ, tal que se x ∈ IR e 0 < |x - 1| < δ, então |3x - 12 - (-9)| < ε, pois |f(x) - L| < ε.

Desenvolvendo a expressão |3x - 12 -(-9)|, obtemos:

|3x - 12 -(-9)| = |3x - 12 + 9| = |3x - 3| = |3(x - 1)| = 3|x - 1|, pois 3 > 0.

Esse valor que encontramos, 3|x - 1|, tem que ser menor que ε, ou seja, 3|x - 1| < ε.

Assim, podemos afirmar que |x - 1| < ε/3.

Lá no início dizemos que 0 < |x - 1| < δ.

Como |x - 1| < ε/3, então é válido dizer que δ = ε/3.

Portanto, podemos concluir que o δ > 0 desejado deve ser igual a δ = ε/3.

A alternativa correta é a letra b).

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