Question

Usando decomposição em frações parciais, podemos concluir que a integral
$I = \int\limits \frac{x+2}{ x^{2} -x} dx$ é igual a:
a)  I = ln ( x² - x) + c
b. I = - 2 ln x + 3 ln (x - 1) + c
c. I = 4 ln x - 3 ln (x - 1) + c
d. I = ln x . ln (x - 1) + c

Answer 1

$\boxed{\boxed{I = \int { \frac{x+2}{x^2-x} } \, dx }}$

escrevendo a equação do denominador na forma fatorada
$x*(x-1)$

decompondo em frações parciais
$\frac{A}{x}+ \frac{B}{(x-1)}= \frac{A(x-1)}{x(x-1)}+ \frac{Bx}{x(x-1)}= \boxed{\frac{A(x-1)+Bx}{x(x-1)} }$

temos que

$\frac{x+2}{x^2-x}= {\frac{A(x-1)+Bx}{x(x-1)}} \\\\\boxed{\boxed{x+2=A(x-1)+Bx}}$

para achar o valor de A é só usar um valor de x para cancelar o B
então x =0
$0+2=A(0-1)+B*0\\\\\ 2=-A\\\\\boxed{-2=A}$

agora achando o valor de B
é só fazer o mesmo processo
usando x=1
$1+2 = A(1-1) + B*1\\\\\boxed{3=B}$

logo 
$\frac{x+2}{x^2-x}= \frac{-2(x-1) + 3x}{x(x-1)}$


portanto

$\frac{A}{x}+ \frac{B}{(x-1)} = \boxed{ \frac{-2}{x}+ \frac{3}{(x-1)} }$

agora montando a integral
$\int{\frac{-2}{x}+ \frac{3}{(x-1)}} \, dx = \boxed{\boxed{ \int {-2*x^{-1}} \, dx + \int{ 3*(x-1)^{-1}} \, dx }}$

resolvendo as integrais
$\int {-2*x^{-1}} \, dx + \int{ 3*(x-1)^{-1}} \, dx = \boxed{\boxed{-2*ln(x)+3*ln(x-1)+C}}$