Usando conhecimentos sobre trigonometria, assinale o que for
correto.
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, SenhoraAzevedo, que a resolução não é das mais simples. Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para assinalar o que for correto nas seguintes expressões.
01) Num triângulo isósceles, a base mede 10 e os ângulos da base medem, cada um, π/4 graus (ou 45º, pois π = 180º. Logo, 180º/4 = 45º). Agora veja: se os dois ângulos da base medem, cada um, 45º, então o ângulo de cima medirá 90º (será um ângulo reto, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo somam 180º. Logo: 45º + 45º + 90º = 180º). Portanto, o perímetro desse triângulo mede 10 + 10√(2).
Resposta: afirmação VERDADEIRA.
Veja a razão disso: se o ângulo de cima mede 90º, então o triângulo é retângulo. E se o triângulo é retângulo, reto no ângulo de cima, então a base será a hipotenusa (pois é o lado que se opõe ao ângulo de 90º). Assim, aplicando Pitágoras, teremos (lembre-se que a base é igual a "10" e aos lados congruentes vamos chamá-los, cada um deles, de "x"):
10² = x² + x² ----- desenvolvendo, teremos:
100 = 2x² ---- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo:
2x² = 100 ---- isolando x² teremos:
x² = 100/2
x² = 50 ---- isolando "x", teremos:
x = ± √(50) ---- note que 50 = 5²*2. Assim, ficaremos:
x = ± √(5².2) ---- como o o "5" está ao quadrado, então ele sai de dentro da raiz quadrada. Assim ficaremos:
x = ± 5√(2) ----- mas como o lado de um triângulo nunca terá medida negativa, então ficaremos apenas com a medida positiva. E assim:
x = 5√(2) <--- Esta é a medida de cada um dos lados congruentes.
Agora vamos ao que a questão está pedindo, que é o perímetro (P) desse triângulo (que nada mais é que a soma dos seus três lados). Assim, como a base é igual a "10" e cada lado "x" mede 5√(2), teremos:
P = 10 + 5√(2) + 5√(2) ---- como "5√(2)+5√(2) = 10√(2)", teremos:
P = 10 + 10√(2) <--- Esta é a resposta. E veja que é exatamente como está proposto na questão do item "01". Por isso esta afirmação é VERDADEIRA.
02) Vale a igualdade: sen(π/6+π/3) = √(2)/2
Resposta: afirmação FALSA. Veja: note que π/6+π/3 = (1*π+2*π)/6 = (π+2π)/6 = 3π/6 = π/2 (após simplificarmos numerador e denominador por "3"). E note que π/2 é equivalente a 90º (pois π = 180º e 180º/2 = 90º). Assim a expressão ficará sendo esta:
sen(π/2) = sen(90º) = 1 <--- Esta é que deveria ser a resposta. Por isso a afirmação deste item é FALSA (lembre-se que sen(90º) = 1).
04) Se y = [cotg(3π/2) + cossec(3π/2)]/[sen(3π/2)] e sendo cos(3π/2) = 0, então y = 1.
Resposta: afirmação VERDADEIRA. Veja que o ângulo de 3π/2 equivale ao ângulo de 270º (pois 3π/2 = 3*180º/2 = 540º/2 = 270º). E no ângulo de 270º o seno é igual a "-1" e o cosseno é igual a "0" (como inclusive está afirmado no enunciado deste item). E sendo tan(x) = sen(x)/cos(x), então NÃO haverá tangente quando o cosseno for igual a "0", que é o que ocorre no ângulo de 3π/2 (ou 270º). E se não há tangente nesse ângulo, então também não haverá cotangente (lembre-se que cotg = 1/tg). Assim, a expressão dada ficará restrita a:
y = cossec(3π/2)/sen(3π/2) ----- como cossec(x) = 1/sen(x),então ficaremos:
y = [1/sen(3π/2)]/[sen(3π/2) ------ como já vimos que 3π/2 = 270º, então teremos:
y = [1/sen(270º)]/[sen(270º)] ---- como sen(270º) = -1, teremos:
y = [1/(-1)] / -1 ------ como "1/(-1) = -1", então ficaremos com:
y = -1/-1 ---- e finalmente, como "-1/-1 = 1", ficaremos:
y = 1 <--- Esta é a resposta. Por isso esta sentença é VERDADEIRA.
08) Se tan(x) = a; e cotg(x) = b, então a*b = 1
Resposta: esta afirmação só seria VERDADEIRA, se a≠0 . Veja que cotg(x) = 1/tan(x). Então se temos isto:
tan(x) = a; e cotg(x) = b. Vamos efetuar este produto e ver como ele seria igual a "1", mas só se a ≈ 0. Veja:
tan(x)*cotg(x) = a*b ------ como cotg(x) = 1/tan(x), então teremos:
tan(x)*1/tan(x) = a*(1/a) ----- desenvolvendo, teremos:
tan(x)/tan(x) = a/a ---- e como "a/a = 1", teremos que:
tan(x)/tan(x) = a/a = 1 <--- Esta é a resposta. Por isso esta sentença seria verdadeira, mas apenas em princípio. Como não está informado em canto nenhum que a ≠ 0,então somos forçados a informar que esta sentença é FALSA.
16) Supondo que sen(x) = 3/4 e tan(x) = 1/2, então sec(x) = 1/4.
Resposta: sentença FALSA. Veja que:
tan(x) = sen(x) / cos(x) ----- como tan(x) = 1/2 e como sen(x) = 3/4, então teremos:
1/2 = (3/4) / cos(x) ----- note que o 2º membro é equivalente a:
1/2 = 3/4cos(x) ----- e veja que "3/4cos(x)" é equivalente a:
1/2 = (3/4)*(1/cos(x) ---- e considerando que "1/cos(x) = sec(x)", teremos;
1/2 = 3/4sec(x) ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
1*4sec(x) = 2*3 ---- desenvolvendo, teremos:
4sec(x) = 6 ----- isolando sec(x), teremos:
sec(x) = 6/4 ---- simplificando-se numerador e denominador por "2", temos:
sec(x) = 3/2 <--- Esta é que deveria ser a resposta (e não "1/4" como está indicado). Por isso esta sentença é FALSA.
Se não nos enganamos em alguma passagem, então todos os itens da questão inteira deverão ser como desenvolvemos.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.