Question

Usando combinação, diga quantas diagonais possui um polígono de  lados.

Answer 1

Um polígono de n vértices possui n lados. A partir de dois pontos podemos criar um segmento de reta; o número total de segmentos de reta que podemos criar com esses n pontos é dado por:

$C_{n,2}=\frac{n!}{(n-2)!.2!}\Rightarrow \boxed{C_{n,2}=\frac{n(n-1)}{2}}$

Porém nessa contagem dos segmentos de reta temos tanto as diagonais quanto os lados do polígono, daí temos que tirar n da quantidade encontrada há pouco para termos o número de diagonais:

$d=C_{n,2}-n=\frac{n(n-1)}{2}-n\Rightarrow d=\frac{n^2-n-2n}{2} \Rightarrow \boxed{\boxed{d=\frac{n(n-3)}{2}}}$