Question

Usando as regras de derivação, calcule a derivada das funções:



LaTeX: f(x) = \frac{1}{8}x^{10} \cos xf(x)=18x10cosx



LaTeX: f(x) = \sin x \log_2 xf(x)=sinxlog2x



LaTeX: f(x) = \frac{3x^2 - 2}{2x + 7}f(x)=3x2−22x+7



LaTeX: f(x) = \frac{x^3}{\tan x}f(x)=x3tanx



LaTeX: f(x) = x^{3,2} - 7\sqrt[5]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}f(x)=x3,2−7[5]x+1x

Answer 1

Lembrando que:

Regra do produto:

f(x) = u.v → f'(x) = u'.v + u.v'

Regra do quociente:

$f(x)= \frac{u}{v}$ → $f'(x)= \frac{u'.v-u.v'}{v^2}$

a) $f(x)= \frac{x^10.cos(x)}{8}$

Pela regra do produto:

$f'(x)= \frac{10x^9}{8}cos(x)+ \frac{x^{10}}{8}.(-sen(x))$
$f'(x)= \frac{5x^9}{4}cos(x)- \frac{x^{10}}{8}sen(x)$

b) $f(x)=sen(x).log_2x$

Pela regra do produto:

$f'(x)=cos(x).log_2x+sen(x). \frac{1}{xlog2}$

c) $f(x)= \frac{3x^2-2}{2x+7}$

Pela regra do quociente:

$f'(x)= \frac{6x(2x+7)-2(3x^2-2)}{(2x+7)^2}$
$f'(x)= \frac{12x^2+42x-6x^2+4}{(2x+7)^2}$
$f'(x)= \frac{6x^2+42x+4}{(2x+7)^2}$

d) $f(x)= \frac{x^3}{tg(x)}$

Pela regra do quociente:

$f'(x)= \frac{3x^2.tg(x)-x^2.sec^2x}{tg^2x}$

e) $f(x)=x^{3,2}-7 \sqrt[5]{x}+ \frac{1}{ \sqrt{x} }$

Reescrevendo a função f:

$f(x)=x^{3,2}-7x^{ \frac{1}{5}}+x^{- \frac{1}{2} }$

Derivando:

$f'(x)=3,2x^{2,2}- \frac{7}{5}.x^{- \frac{4}{5}}- \frac{1}{2}x^{- \frac{3}{2}}$
$f'(x)=3,2x^{2,2}- \frac{7}{5 \sqrt[5]{x^4} }- \frac{1}{2 \sqrt{x^3} }$