Question

Usando a técnica de prova por redução ao absurdo, demonstre que:

Dado n é um número inteiro, se n³+5 é impar, então n é par.

Assim, anexe a sua resolução detalhada e justificada.

Answer 1

Inicialmente, vamos entender em que consiste a técnica de prova por redução ao absurdo.

Redução ao absurdo

Seja o seguinte argumento:

$\LargeP_1,\,P_2,\,\ldots,\,P_n\vdash Q.$

Para provar sua validade usando a técnica de redução ao absurdo, supomos que a negação da conclusão $(\sim\!Q)$ é verdade e, assim, deduzimos uma contradição.

Desse modo, tal técnica consiste em demonstrar a validade do seguinte argumento:

$\LargeP_1,\,P_2,\,\ldots,\,P_n,\,\sim\!Q\vdash C,$

sendo $C$ uma contradição qualquer do tipo $A\,\wedge\sim\!A.$

Nesta questão, deseja-se provar, por redução ao absurdo, o seguinte argumento para todo $n$ inteiro:

Se $n^3+5$ é ímpar, então $n$ é par.

Veja que temos a premissa $p: n^3+5$ é um número par e a conclusão $q: n$ é par.

Usando a técnica de absurdo, vamos introduzir a negação da conclusão como premissa, ou seja, $\sim\!q: n$ é ímpar.

Agora temos que provar a validade do argumento a seguir:

$\Largep,\,\sim\!q \vdash C.$

Para tanto, suponha que $n^3+5$ é ímpar e $n$ é ímpar. Desse modo, existe $k\in\mathbb{Z}$ tal que $n=2k+1.$ Assim sendo, segue que:

$\Large\begin{aligned}n^3+5&=(2k+1)^3+5\\\\&=(2k)^3+3\cdot(2k)^2\cdot1+3\cdot(2k)\cdot1^2+1^3+5\\\\&=8k^3+3\cdot4k^2+6k+1+5\\\\&=8k^3+12k^2+6k+6\\\\&=2(4k^3+6k^2+3k+3).\end{aligned}$

Como $k\in\mathbb{Z},$ então $(4k^3+6k^2+3k+3)\in\mathbb{Z}.$ Supondo $4k^3+6k^2+3k+3=m,$ temos

$\Largen^3+5=2m\quad(m\in\mathbb{Z}).$

Logo, $n^3+5$ é par. Veja que chegamos a uma contradição: $n^3+5$ é ímpar e par, ao mesmo tempo.

Assim, está provado por redução ao absurdo que, para $n\in\mathbb{Z},$ se $n^3+5$ é ímpar, então $n$ é par.  

Para ver uma questão relacionada, acesse: brainly.com.br/tarefa/48025103.