Question

Usando a técnica de integração por substituição trigonométrica, a integral de é:h(x)=dx/raiz quadrada de 1-x^2

Answer 1

Então, essa integral nem necessita de uma substituição trigonométrica. Podemos pensar no conceito de antiderivada: Qual função tem derivada igual a 1/√(1 - x²)?

Se estiver lembrado das derivadas das inversas trigonométricas, lembrará que:

$\dfrac{d}{dx}arcsen(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Então:

$\boxed{\boxed{\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arcsen(x)+constante}}$
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Porém, podemos usar a substituição trigonométrica.

Quando temos um caso (a² - x²), sendo 'a' constante, fazemos a seguinte substituição:

$x=a\cdot sen(\theta)$

Fazendo as devidas modificações
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No exercício, a² = 1, então a = 1

$x=1\cdot sen(\theta)=sen(\theta)$

Derivando:

$dx=cos(\theta)d\theta$

Então:

$\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int\dfrac{1}{\sqrt{1-sen^{2}(\theta)}}cos(\theta)d\theta\\\\\\\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int\dfrac{1}{\sqrt{cos^{2}(\theta)}}cos(\theta)d\theta\\\\\\\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int\dfrac{1}{cos(\theta)}cos(\theta)d\theta\\\\\\\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int d\theta\\\\\\\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\theta$

Agora, vamos retornar para a variável x:

$x=sen(\theta)~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{\theta=arcsen(x)}}$

Então:

$\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arcsen(x)$

Não esquecendo da constante de integração:

$\boxed{\boxed{\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arcsen(x)+constante}}$