Question

Usando a técnica de integração por substituição trigonométrica, a integral de

Answer 1

$\boxed{h(x) = \int { \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2} } } }$

neste caso a substiuição será
$\boxed{\sqrt{a^2-x^2} \to x=a*sen (\theta)}$

temos
$x= 1*sen(\theta)=sen(\theta)\\\\dx=cos(\theta).d\theta$

substituindo na integral
$\boxed{\boxed{ \int { \frac{cos(\theta)*d\theta}{ \sqrt{1-sen^2(\theta)} } } }}$

como x está ao quadrado ficou sen²

pela relação trigonometrica
$sen^2(x)+cos^2(x)=1\\\\cos(x)= \sqrt{1-sen^2 (x)}$

com isso a integral fica
$\int \frac{cos(\theta) d\theta}{cos(\theta)} = \int d\theta=\theta + K$

k = CONSTANTE

como vimos antes 
$x=sen(\theta)\\\\arcsen(x) = \theta$

a resposta da integral será
$\boxed{\boxed{h(x) = \int { \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2} } } =arcsen(x)+K}}$

Answer 2

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$\boxed{\begin{array}{c}\sf integral~com~radicando~envolvendo~\sqrt{a^2-u^2}\\\sf use~a~substituic_{\!\!,}\tilde ao~u=a~sen(\theta)\end{array}}$

$\displaystyle\sf\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\\\sf fac_{\!\!,}a~x=1sen(\theta)\implies dx=cos(\theta)d\theta\\\sf\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-sen^2(\theta)}=\sqrt{cos^2(\theta)}=cos(\theta)\\\displaystyle\sf\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int\dfrac{\diagup\!\!\!\!\!cos(\theta)d\theta}{\diagup\!\!\!\!\!cos(\theta)}=\int d\theta=\theta+k\\\sf \theta=arc~sen(x)\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\displaystyle\sf\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=arc~sen(x)+k}}}}\checkmark$