Question

Usando a técnica de integração por substituição, a integral de f(x) = x/ raiz quadrada de 1+x é:

Answer 1

$\int\limits { \frac{x}{ \sqrt{1+x} } } \, dx \\ \\ 1+x=u=>dx=du \\ \\ x=u-1 \\ \\ \int\limits { \frac{x}{ \sqrt{1+x} } } \, dx = \int\limits { \frac{(u-1)}{ \sqrt{u} } } \, du= \int\limits u ^{ \frac{1}{2} }(u-1) } \, du= \int\limits {u ^{ ^{ \frac{3}{2} } } } \, du- \int\limits{u ^{ \frac{1}{2} } } \, du= \frac{2}{3} u ^{ \frac{3}{2} }- \\ \\ 2u ^{ \frac{1}{2} } +c= { \frac{2}{3} (1+x)} ^{ \frac{3}{2} } -2(1+x) ^{ \frac{1}{2} } \++c$

Answer 2

Temos a integral:

∫ $\frac{x}{ \sqrt{1+x} } dx$

Vamos fazer $\sqrt{1+x} = u$ ok:?

assim:


$u = \sqrt{1+x}$

Elevando ao quadrado ambos o lado da equação para facilitar teremos: Mas considerando que 1 + x > 0


$\\ u^2 = (\sqrt{1+x} )^2 \\ \\ u^2 = 1+x \\ \\ u^2-1 = x$

Derivando u em relação a x ↓


$\\ d \frac{u^2}{dx} = 1 \\ \\ 2udu = dx$

Substituindo 2udu por dx na integral original e Substituindo u²-1 por x  e √1+x por u => ficamos:

∫ $\frac{x}{ \sqrt{1+x} } dx =$ = ∫$\frac{(u^2-1)*2udu}{u}$

∫$\frac{(u^2-1)*2du}{1}$

∫(2u²-2)du

2u³/3 -2u + C

Substituindo u por √1+x



$\\ 2*\frac{( \sqrt{1+x} )^3}{3} -2* \sqrt{1+x} +C \\ \\ 2* \frac{(1+x)^1^/^3}{3} -2*(1+x)^1^/^2+C$

Vamos colocar (1+x)¹/² em evidencia:




$\\ (1+x)^1^/^2[ \frac{2}{3} (1+x)^1- 2] + C \\ \\ (1+x)^1^/^2[ \frac{2*1+2*x}{3} -2] + C \\ \\ (1+x)^1^/^2[ \frac{2+2x-2*3}{3} ] + C \\ \\ (1+x)^1^/^2[ \frac{2x-4}{3} ] + C \\ \\ (1+x)^1^/^2[ 2*( \frac{x-2}{3} )] + C \\ \\ 2*(1+x)^1^/^2 \frac{(x-2)}{3} + C \\ \\ \frac{2}{3} *(1+x)^1^/^2(x-2) + C$


Agora só colocar (1+x)¹/² em formato de raiz ok?


$\frac{2}{3} \sqrt{1+x}* (x-2) + C$