Question

Usando a técnica de integração por substituição,a integral de f(x)=x/√(1+x) é:

Answer 1

$\int{\dfrac{x}{\sqrt{1+x}}\,dx}$

Fazemos a seguinte substituição:

$u=\sqrt{1+x}\\ \\ u^{2}=1+x\\ \\ x=u^{2}-1\\ \\ dx=2u\,du$


Substituindo na integral, temos

$\int{\dfrac{x}{\sqrt{1+x}}\,dx}\\ \\ =\int{\dfrac{\left(u^{2}-1 \right )\cdot 2\diagup\!\!\!\! u\,du}{\diagup\!\!\!\! u}}\\ \\ =2\int{\left(u^{2}-1 \right )du}\\ \\ =2\left(\dfrac{u^{3}}{3}-u \right )+C\\ \\ =2\left(\dfrac{\left(\sqrt{1+x} \right )^{3}}{3}-\sqrt{1+x} \right )+C$