Question

usando a soma e o produto das raízes do segundo grau, encontre as 2 raízes da equação abaixo: x²-9x+8​

Answer 1

$x {}^{2} - 9x + 8 = 0$

Coeficientes:

$\boxed{a = 1 \: , \: b = - 9 \: ,\: c = 8}$

Soma das raízes:

$S = x _{1} + x _{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{ - 9}{1} = \frac{9}{1} = \boxed{9}$

$S = x _{1} + x _{2} =\boxed{1 + 8} = 9$

Produto das raízes:

$P = x _{1} \: . \: x _{2} = \frac{c}{a} = \frac{8}{1} = \boxed{8}$

$P = x _{1} \: . \: x _{2} =\boxed{1 \: . \: 8}= 8$

$\boxed{S = \left \{1\: , \:8\right \}}$

Att. NLE Top Shotta

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que as duas raízes da referida equação do segundo grau são, respectivamente:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf x' = 1\:\:\:\:e\:\:\:\:x'' = 8\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a equação quadrática:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 9x + 8 = 0\end{gathered}$

Para determinar as raízes da referida equação do segundo grau a partir da soma "S" e produto "P" das raízes devemos, utilizar a seguintes relações de Girard:

   $\LARGE\begin{cases} S = x' + x'' = -\frac{b}{a} = -\frac{(-9)}{1} = 1\\P = x'\cdot x'' = \frac{c}{a} = \frac{8}{1} = 8\end{cases}$

Para resolver esta questão, devemos resolver o seguinte sistema de equações do primeiro grau:

             $\Large\begin{cases} x' + x'' = 9\:\:\:\:\:\:\:\:\:{\bf I}\\x'\cdot x'' = 8\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{\bf II}\end{cases}$

Observe que devemos encontrar dois números, tais que a soma deles seja "9" e o produto seja "8". Chegando neste ponto, devemos resolver os sistema montado. Então, temos:

Isolando x'' na primeira equação, temos:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = 9 - x'\:\:\:\:\:\:\:\:{\bf III}\end{gathered}$

Pegando o valor de x'' e inserindo na equação "II", temos:

             $\Large \begin{aligned}x'\cdot(9 - x') & = 8\\9x' - x'^{2} &= 8\\-x'^{2} + 9x' - 8 &= 0\:\:\:\:{\bf IV}\end{aligned}$

Resolvendo a equação "IV", temos:

         $\Large \text { \begin{aligned}x' & = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\\x' & = \frac{-9\pm\sqrt{9^{2} - 4\cdot(-1)\cdot(-8)}}{2\cdot(-1)}\\x' & = \frac{-9\pm\sqrt{81 - 32}}{-2}\\x' & = \frac{-9\pm\sqrt{49}}{-2}\\x'& = \frac{-9\pm7}{-2}\\x' & = \Large\begin{cases} x_{1}' = \frac{-9 + 7}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1\\x_{2}'' = \frac{-9 - 7}{-2} = \frac{-16}{-2} = 8\end{cases}\end{aligned} }$

Portanto:

                    $\Large\begin{cases} x_{1}' = 1\\x_{2}' = 8\end{cases}$

Agora poderemos encontrar os valores da segunda raiz. Para isso, basta substituir os valores da primeira raiz na equação "III". Então, temos:

• Se x' = 1:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} x_{1}'' = 9 - x_{1}' = 9 - 1 = 8\end{gathered}$

       Portanto:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x_{1}'' = 8\end{gathered}$

• Se x' = 8:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x_{2}'' = 9 - x_{2}' = 9 - 8 = 1\end{gathered}$

        Portanto:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} x_{2}'' = 1\end{gathered}$

✅ Desta forma percebemos que as raízes da referida equação são:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' = 1\:\:\:e\:\:\:x'' = 8\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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