Question

Usando a relação de Stifel mostre que:
C(n + 2, 10) = C(n, 10) + 2C(n, 9) + C(n, 8) para n 10.

Answer 1

Relação de Stifel (ou Regra de Pascal):
Cn,k = C(n-1),(k-1) + C(n-1),k

Aplicando:
C(n+2),10 = C(n+2-1),(10-1) + C(n+2-1),10
C(n+2),10 = C(n+1),9 + C(n+1),10  (i)

Trabalhando com o primeiro termo:
C(n+1),9 = C(n+1-1),(9-1) + C(n+1-1),9
C(n+1),9 = Cn,8 + Cn,9  (ii)

Trabalhando com o segundo termo:
C(n+1),10 = C(n+1-1),(10-1) + C(n+1-1),10
C(n+1),10 = Cn,9 + Cn,10  (iii)

Substituindo (ii) e (iii) em (i), temos:
C(n+2),10 = Cn,8 + Cn,9 + Cn,9 + Cn,10
C(n+2),10 = Cn,10 + 2.Cn,9 + Cn,8

Demonstrando para n = 10:
C(10+2),10 = C10,10 + 2.C10,9 + C10,8
C12,10 = 1 + 2.10 + 10!/(2!.8!)
12!/(2!.10!) = 1 + 20 + 10.9.8!/(2.8!)
12.11.10!/(2.10!) = 21 + 5.9
6.11 = 21 + 45
66 = 66.