Question

Usando a regra de Sarrus, calcular o determinante
2 1 3
1 -2 4
3 2 1

Answer 1

$\Large\text{ \underline{\sf Ol\acute{a}{,}\ boa\ noite!} }$

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☃️ $\large\underline{\sf Matrizes.}$

☃️ $\large\underline{\sf Determinantes.}$

☃️ $\large\underline{\sf Regra\ de\ Sarrus.}$

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, devemos aplicar a regra de Sarrus, Para utilizar essa regra, é necessário seguir alguns passos, o primeiro passo será repetir as duas primeiras colunas, irei dar um exemplo para ficar mais fácil o entendimento.

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Exemplo:

$\sf A=\left(\begin{array}{ccc}a11&a12&a13\\ a21&a22&a23\\a31&a32&a33\end{array}\right)$

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$\sf Det(A)=\left|\begin{array}{ccc}a11&a12&a13\\ a21&a22&a23\\a31&a32&a33\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}a11&a12\\ a21&a22\\a31&a32\end{array}\right|$

O segundo passo será multiplicar os termos de cada uma das três diagonais que estão no mesmo sentido da diagonal principal.

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Exemplo:

$\sf Det(A)=\left|\begin{array}{ccc}\boxed{a11}&\boxed{a12}&\boxed{a13}\\ a21&\boxed{a22}&\boxed{a23}\\a31&a32&\boxed{a33}\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}a11&a12\\ \boxed{a21}&a22\\\boxed{a31}&\boxed{a32}\end{array}\right|$

O terceiro passo será multiplicar os termos de cada uma das três diagonais que estão no mesmo sentido da diagonal secundária.

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Exemplo:

$\sf Det(A)=\left|\begin{array}{ccc}a11&a12&\boxed{a13}\\ a21&\boxed{a22}&\boxed{a23}\\\boxed{a31}&\boxed{a32}&\boxed{a33}\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}\boxed{a11}&\boxed{a12}\\ \boxed{a21}&a22\\a31&a32\end{array}\right|$

O quarto passo será subtrair o resultado do segundo passo pelo resultado a multiplicação do terceiro passo.

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Exemplo:

$\sf Det(A)=\left|\begin{array}{ccc}\boxed{a11}&\boxed{a12}&\boxed{a13}\\ a21&\boxed{a22}&\boxed{a23}\\a31&a32&\boxed{a33}\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}a11&a12\\ \boxed{a21}&a22\\\boxed{a31}&\boxed{a32}\end{array}\right|$

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 $\sf a11 \cdot a22 \cdot a33 + a12 \cdot a23 \cdot a31 + a13 \cdot a21 \cdot a32$

$\sf Det(A)=\left|\begin{array}{ccc}a11&a12&\boxed{a13}\\ a21&\boxed{a22}&\boxed{a23}\\\boxed{a31}&\boxed{a32}&\boxed{a33}\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}\boxed{a11}&\boxed{a12}\\ \boxed{a21}&a22\\a31&a32\end{array}\right|$

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 $\sf a13 \cdot a22 \cdot a31 + a11 \cdot a23 \cdot a 33 + a12\cdot a21\cdot a33$

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Subtraindo o exemplo:

$\sf a11 \cdot a22 \cdot a33 + a12 \cdot a23 \cdot a31 + a13 \cdot a21 \cdot a32 - (\sf a13 \cdot a22 \cdot a31 + a11 \cdot a23 \cdot a 33 + a12\cdot a21\cdot a33)$

Pronto, essas são todas as etapas para se achar o determinante de uma matriz 3x3, tendo em mente isso ... vamos a sua questão.

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Sua questão:

Usando a regra de Sarrus, calcule o determinante da matriz

$\sf A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&3\\1&-2&4\\3&2&1\end{array}\right)$ .

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Resolução:

$\sf A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&3\\1&-2&4\\3&2&1\end{array}\right)$

Replicando as duas primeiras colunas:

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 $\sf A=\left|\begin{array}{ccc}2&1&3\\1&-2&4\\3&2&1\end{array}\right|\right| \left\begin{array}{ccc}2&1\\ 1&-2\\3&2\end{array}\right|$

multiplicando os termos de cada uma das três diagonais que estão no mesmo sentido da diagonal principal:

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$\sf A=\left|\begin{array}{ccc}\boxed{2}&\boxed{1}&\boxed{3}\\1&\boxed{-2}&\boxed{4}\\3&2&\boxed{1}\end{array}\right|\right| \left\begin{array}{ccc}2&1\\ \boxed{1}&-2\\\boxed{3}&\boxed{2}\end{array}\right|$

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 $\sf 2\cdot (-2) \cdot 1 +1\cdot 4\cdot 3 + 3\cdot 1\cdot 2$

 

multiplicando os termos de cada uma das três diagonais que estão no mesmo sentido da diagonal secundária:

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 $\sf A=\left|\begin{array}{ccc}2&1&\boxed{3}\\1&\boxed{-2}&\boxed{4}\\\boxed{3}&\boxed{2}&\boxed{1}\end{array}\right|\right| \left\begin{array}{ccc}\boxed{2}&\boxed{1}\\ \boxed{1}&-2\\3&2\end{array}\right|$

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  $\sf 3\cdot (-2) \cdot 3 + 2\cdot 4\cdot 2+ 1\cdot 1\cdot 1$

 

Subtraindo o resultado da primeira multiplicação com a segunda multiplicação:

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$\begin{array}{ll}\sf 2\cdot (-2) \cdot 1 +1\cdot 4\cdot 3 + 3\cdot 1\cdot 2 - (\sf 3\cdot (-2) \cdot 3 + 2\cdot 4\cdot 2+ 1\cdot 1\cdot 1)\\\\\sf -4 + 12+ 6 -3\cdot (-2)\cdot 3-2\cdot 4\cdot 2-1\cdot 1\cdot 1\\\\\sf 14 - (-6)\cdot 3 - 16 - 1\\\\\sf 14-\left(-18\right)-16-1\\\\\sf = 15\end{array}$  

• Concluirmos então que o determinante da sua matriz é igual a 15.

Fim. :)

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⭐ Espero ter ajudado!

⭐ Bons estudos!

$\Large\begin{matrix} \underbrace{ \sf By: Pedro } \end{matrix}$