Question

Usando a lei dos sebos ou lei dos dos sebos determine a medida do ângulo â

Answer 1

A) Como temos três lados e um ângulo conhecido, podemos usar a lei dos cossenos.

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\alpha) \\\\(2\sqrt{7})^2 = 8^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6\sqrt{3} \cdot cos(\alpha) \\\\4 \cdot 7 = 64 + 36 \cdot 3 - 2 \cdot 8 \cdot 6\sqrt{3} \cdot cos(\alpha) \\\\28 = 64 + 108 - 96\sqrt{3} \cdot cos(\alpha) \\\\96\sqrt{3} \cdot cos(\alpha) = 64 + 108 - 28 \\\\96\sqrt{3} \cdot cos(\alpha) = 144 \\\\cos(\alpha) = \dfrac{144}{96\sqrt{3}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$cos(\alpha) = \dfrac{3 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Como $cos(30^o) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, então $\alpha = 30^o$.

B) Como temos dois lados e dois ângulos conhecidos, podemos usar a lei dos senos.

$\dfrac{a}{sen(\alpha)} = \dfrac{b}{sen(\beta)} \\\\\dfrac{4\sqrt{6}}{sen(\alpha)} = \dfrac{12}{sen(120^o)} \\\\4\sqrt{6} \cdot sen(120^o) = 12 \cdot sen(\alpha) \\\\4\sqrt{6} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12 \cdot sen(\alpha) \\\\2 \cdot \sqrt{18} = 12 \cdot sen(\alpha) \\\\sen(\alpha) = \dfrac{2 \cdot \sqrt{18}}{12} = \dfrac{\sqrt{18}}{6} = \dfrac{3\sqrt{2}}{6}= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Como $sen(45^o) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, então $\alpha = 45^o$.

C) Como temos dois lados e dois ângulos conhecidos, podemos usar a lei dos senos.

$\dfrac{a}{sen(\alpha)} = \dfrac{b}{sen(\beta)} \\\\\dfrac{6}{sen(\alpha)} = \dfrac{3\sqrt{2}}{sen(45^o)} \\\\6 \cdot sen(45^o) = 3\sqrt{2} \cdot sen(\alpha) \\\\6 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \cdot sen(\alpha) \\\\sen(\alpha) = \dfrac{6 \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2}} = 1$

Como $sen(90^o) = 1$, então $\alpha = 90^o$.