Question

Usando a fórmula) Sen x. Sen y = 1/2 [ cos ( x – y ) – cos ( x + y )] podemos concluir que o valor da expressão Cosec ( 10) – 4 sen ( 70) é: a) 3 b) 1 c) 1/2 d) 3/4 e) 2

Answer 1

cossec(a) = 1/sen(a).
cossec(10°) - 4sen(70°) = ?
cossec(10°) = 1/sen(10°).
Então, cossec(10°) - 4sen(70°) = 1/sen(10°) - 4sen(70°).sen(10°).
E como, senxseny = 1/2[cos(x-y) - cos(x+y)], temos que: sen(70°).sen(10°) = 1/2[cos(70°- 10°) - cos(70° + 10°)] =
= 1/2[cos(60°) - cos (80°)], mas cos(60°) = 1/2 e, cos(80°) = cos (90°- 10°)
Assim temos: sen(70°).sen(10°) = 1/2[1/2 - cos(90° - 10°).
E também da identidade trigonométrica cos(a - b) = cosacosb + senasenb, decorre que cos(90°-10°) = cos(90°)cos(10°) + sen(90°)sen(10°), temos que cos(90°- 10°) = 0.cos(10°) + 1.sen (10°) = sen(10°). Assim, sen(70°).sen(10°) = 1/2[1/2 - sen(10°)] = 1/4 - sen(10°)/2. E aí 1/sen(10°) - 4sen(70°).sen(10°)/sen(10°) = 1/sen(10°) - 4(1/4 - sen(10°)/2)/sen(10°) = 1/sen(10°) - (1 - 2sen(10°)/sen(10°) = 2sen(10°)/sen(10°) = 2.