Matemática, perguntado por YASMIIM2005, 7 meses atrás

Usando a fórmula matemática:
n(1-3)
2
onde d representa o número de diagonais de um polígono e n representa o número de lados. Assinale
a alternativa que apresenta o número de lados de um polígono que possui 20 diagonais:
(a) 6
(b) 7
(c) 8
(d) 9

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por procentaury

A relação entre a quantidade de diagonais (d) de um polígono e sua quantidade de lados (n) (ou vértices) é obtida por:

$\large \text {$ \sf d = \dfrac{n(n-3)}{2} $}$

Se o polígono possui 20 diagonais então:

d = 20

Cálculo da quantidade de lados:

$\large \text {$ \sf 20 = \dfrac{n(n-3)}{2} $}$

40 = n(n − 3)

40 = n² − 3n

n² − 3n − 40 = 0

As raízes dessa equação representa uma quantidade de lados portanto devem ser números inteiros, assim podemos solucionar essa equação do segundo grau pelo método de soma e produto de raízes:

n² − 3n − 40 = 0

n² − Sn + P = 0, onde:

S: soma das raízes e

P: produto das raízes

Por comparação:

S = 3

P = −40

Deseja-se dois números que somados resulta 3 e multiplicados resulta −40. Se a soma é positiva então o número maior é positivo. As possibilidades são:

40 × (−1) = −40 ⟶ 40 − 1 = 39 ⟶ Não serve pois a soma não é 3.

20 × (−2) = −40 ⟶ 20 − 2 = 18 ⟶ Não serve pois a soma não é 3.

10 × (−4) = −40 ⟶ 10 − 4 = 6 ⟶ Não serve pois a soma não é 3.

8 × (−5) = −40 ⟶ 8 − 5 = 3 ⟶ Serve pois a soma é 3.

Portanto as raízes da equação são −5 e 8. Descarte a raiz negativa pois não representa uma quantidade de lados, assim quantidade de lados do polígono é 8.

Resposta: Alternativa C.