Question

Usando a Fórmula do Termo Geral, calcule quantos termos a PG (9,36, 144,...., 36864).​

Answer 1

Termo geral da Progressão Geométrica:

$a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}$

Onde:

$a_n$ é o n-ésimo termo da progressão;

$a_1$ é o primeiro termo;

$q$ é a razão e;

$n$ é o número de termos.

Sabemos que:

$a_1 = 9$

e:

$a_n = 36864$

Podemos calcular a razão:

$q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{36}{9} = 4$

Assim, podemos subsituir as informações na fórmula:

$a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}$

$36864 = 9 \cdot 4^{n - 1}$

$36864 = 9 \cdot \dfrac{4^n}{4}$

$4^n = \dfrac{36864 \cdot 4}{9}$

$4^n = 16384$

Aplicando o logaritmo de base 4 nos dois lados:

$\log_4[4^n] = \log_4[16384]$

Aplicando a propriedade:

$\log_a[b^c] = c \cdot \log_a[b]$

Teremos:

$n \cdot \log_4[4] = \log_4[4^7]$

Novamente:

$n \cdot \log_4[4] = 7 \cdot \log_4[4]$

Agora, utilizando a propriedade:

$\log_a[a] = 1$

Teremos:

$n \cdot 1 = 7 \cdot 1$

$\boxed{n = 7}$