Question

Usando a derivada, explique por que não existem máximos nem mínimos locais para x ≥ 0 para a função $y=sen x+2e^{x}$.

Para x > 0 eu até saberia explicar, mas se o x pode ser igual a zero, então é aí que temos um mínimo local, só não temos um máximo.

Answer 1

A derivada é dada por

$y' = \text{cos }x + 2e^x$

Perceba que, para $x \geq 0$, temos $\text{cos }x \geq -1$ e $e^x \geq 1$. Logo,

$y' \geq -1 + 2 = 1$

Entretanto, para que haja máximo ou mínimo local, a derivada deve ser nula ou não existir. Para a função em questão, no intervalo $x \geq 0$, a derivada existe sempre e não é nula. Logo, não há máximos ou mínimos locais.