Question

usando a definiçao formal (usando épsilons e deltas),mostre o limite da funçao abaixo: lim ( x2 +4) =5
x -1

Answer 1

Temos que:

$\lim_{n \to 1} (x^2+4)=5$

Para demonstrar isso, faremos:

$\forall\epsilon>0,\exists\,\delta>0,\ tal\ que:$

$0<|x-1|<\delta=>|x^2+4-5|<\epsilon$

Desta forma:

$|x^2+4-5|<\epsilon=>|x^2-1|<\epsilon$

$=>|(x-1)(x+1)|<\epsilon$

$=>|x-1||x+1|<\epsilon$

$=>|x-1|<\frac{\epsilon}{|x+1|}$

Como:

$\delta\leq1$

$=>|x-1|<\delta\leq 1$

$=>|x-1|<1$

$=>-1<x-1<1$

$=>-1+2<x-1+2<1+2$

$=>1<x+1<3$

$=>|x+1|<3$

Como temos que:

$|x-1|<\frac{\epsilon}{|x+1|}$

$=>|x-1|<\frac{\epsilon}{3}$

Então, devemos tomar:

$\delta=min(1, \frac{\epsilon}{3})$

É possível demonstrar porque pode-se tomar esse valor para δ.