Question

Usando a definição de Transformada de Lapace , resolva, L{t^n} , s > 0:

Answer 1

A Transformada de Laplace de uma função $f(t)$ é dada por:

$\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt$

Aplicando na função pedida:

$\displaystyle \mathcal{L}\{t^n\}=\int_0^{\infty}e^{-st}t^n\,dt$

Vamos aplicar a seguinte substituição:

$st=u\Longrightarrow t=\dfrac{u}{s}\Longrightarrow dt=\dfrac{1}{s}du$

Assim:

$\displaystyle \mathcal{L}\{t^n\}=\int_0^{\infty}e^{-u}\left(\dfrac{u}{s}\right)^n\cdot\dfrac{1}{s}du\\\\ \mathcal{L}\{t^n\}=\int_0^{\infty}e^{-u}\dfrac{u^n}{s^n}\cdot\dfrac{1}{s}du\\\\ \mathcal{L}\{t^n\}=\int_0^{\infty}e^{-u}\dfrac{u^n}{s^{n+1}}\,du\\\\ \mathcal{L}\{t^n\}=\dfrac{1}{s^{n+1}}\int_0^{\infty}e^{-u} u^n\,du$

Note que a integral à direita é equivalente à Função Gama de Euler:

$\displaystyle \Gamma(n+1)=\int_0^{\infty}x^{n}e^{-x}\,dx$

Desse modo, podemos escrever:

$\displaystyle \mathcal{L}\{t^n\}=\dfrac{1}{s^{n+1}}\int_0^{\infty}e^{-u} u^n\,du\\\\ \mathcal{L}\{t^n\}=\dfrac{1}{s^{n+1}}\Gamma(n+1)\\\\ \boxed{\mathcal{L}\{t^n\}=\dfrac{\Gamma(n+1)}{s^{n+1}}}$

Se $n\in\mathbb{N}$, podemos escrever o resultado como:

$\boxed{\mathcal{L}\{t^n\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}}$