Question

Usando a definição de derivadas: $\alpha$ = Δ [ pq não consegui colocar na formula]

$f'(p) = \lim_{ x \to \ p} \frac{f(x) - f(p) }{ x - p}$

ou

$f'(x) = \lim_{ \alpha x \to \ 0} \frac{f(x+ \alpha x) - f(x) }{ \alpha x}$

Calcule a derivada das seguintes funções nos pontos dados:

a) f(x) = 2x² - 3x + 4, p = 2

b) f(x) = $\frac{3}{ x^{2} }$, p = 1

c) f(t) = $\sqrt[3]{t}$, p = 8

Answer 1

$f'(p)=\lim\limits_{x\to p}\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}$


a) $f(x)=2x^{2}-3x+4,~~~p=2:$

$f'(2)=\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}\dfrac{(2x^{2}-3x+4)-(2\cdot 2^{2}-3\cdot 2+4)}{x-2}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}\dfrac{(2x^{2}-3x+4)-(2\cdot 4-6+4)}{x-2}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}\dfrac{(2x^{2}-3x+4)-6}{x-2}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}\dfrac{2x^{2}-3x-2}{x-2}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}\dfrac{2x^{2}-3x-2}{x-2}$


Fatorando o numerador por $(x-2)$ por agrupamento, temos

$=\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{2x^{2}+1x-4x-2}{x-2}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}\dfrac{x(2x+1)-2(2x+1)}{x-2}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}\dfrac{(x-2)(2x+1)}{x-2}$


Simplificando o fator comum no numerador e no denominador, o limite fica

$=\lim\limits_{x\to 2}~(2x+1)\\\\ =2\cdot 2+1\\\\ =5$

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b) $f(x)=\dfrac{3}{x^{2}}\,,~~~p=1:$

$f'(1)=\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\dfrac{\frac{3}{x^{2}}-\frac{3}{1^{2}}}{x-1}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\dfrac{\frac{3}{x^{2}}-3}{x-1}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}\cdot (\frac{3}{x^{2}}-3)}{x^{2}\cdot (x-1)}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\dfrac{3-3x^{2}}{x^{2}\cdot (x-1)}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\dfrac{(-3)\cdot (x^{2}-1)}{x^{2}\cdot (x-1)}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\dfrac{(-3)\cdot (x-1)\cdot (x+1)}{x^{2}\cdot (x-1)}$


Simplificando o fator comum $(x-1)$ no numerador e no denominador, o limite fica

$=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(-3)\cdot(x+1)}{x^{2}}\\\\\\ =\dfrac{(-3)\cdot(1+1)}{1^{2}}\\\\\\ =\dfrac{(-3)\cdot2}{1}\\\\\\ =-6$

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c) $f(t)=\,^{3}\!\!\!\sqrt{t}\,,~~~p=8:$

$f'(8)=\displaystyle\lim_{t\to 8}\dfrac{f(t)-f(8)}{t-8}\\\\\\ =\lim_{t\to 8}\dfrac{\,^{3}\!\!\!\sqrt{t}-\,^{3}\!\!\!\sqrt{8}}{t-8}\\\\\\ =\lim_{t\to 8}\dfrac{\,^{3}\!\!\!\sqrt{t}-2}{t-8}~~~~~~\mathbf{(i)}$


Façamos a seguinte mudança de variável:

$\,^{3}\!\!\!\sqrt{t}=x~~\Rightarrow~~t=x^{3}$


Com esta substituição, segue que

$x$ tende a $2,$ quando $t$ tende a $8.$


Substituindo em $\mathbf{(i)},$ o limite fica

$=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x-2}{x^{3}-8}$


Fatorando o denominador por $(x-2)$ via divisão de polinômios, temos

$=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x-2}{(x-2)(x^{2}+2x+4)}$


Simplificando o fator comum $(x-2)$ no numerador e no denominador, temos

$=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{1}{x^{2}+2x+4}\\\\\\ =\dfrac{1}{2^{2}+2\cdot 2+4}\\\\\\ =\dfrac{1}{4+4+4}\\\\\\ =\dfrac{1}{12}$