Question

Usando a definição de derivada, verifique se cada função abaixo é derivável no ponto $Xo$ e, em caso afirmativo, determine $f'(Xo)$:

a) f(x) = x² - 2x, (Xo = 1)


b) f(x) = |x - 2|, (Xo = 2)

Answer 1

A derivada de $f$ em um ponto $x_{0}$ de seu domínio é o resultado do cálculo do seguinte limite:

$f'(x_{0})=\lim\limits_{x\to x_{0}}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

Caso o limite acima exista e seja FINITO, dizemos que $f$ é derivável em $x_{0},$ e $f'(x_{0})$ é o valor da derivada de $f$ em $x_{0}.$

__________________________

a) $f(x)=x^{2}-2x\,,~~x_{0}=1$

$f'(1)=\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\dfrac{(x^{2}-2x)-(1^{2}-2\cdot 1)}{x-1}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}-2x-(1-2)}{x-1}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}-2x-(-1)}{x-1}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}-2x+1}{x-1}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\dfrac{(x-1)^{2}}{x-1}$


Simplificando o fator comum $(x-1)$ no numerador e no denominador, o limite fica

$=\lim\limits_{x\to 1}~(x-1)\\\\ =1-1\\\\ =0\\\\\\ \therefore~\boxed{\begin{array}{c}f'(1)=0 \end{array}}$

$f$ é derivável em $x_{0}=1.$


b) $f(x)=|x-2|\,,~~x_{0}=2$

$f'(2)=\displaystyle\lim_{x\to 2}~\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}~\dfrac{|x-2|-|2-2|}{x-2}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}~\dfrac{|x-2|-|0|}{x-2}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}~\dfrac{|x-2|-0}{x-2}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}~\dfrac{|x-2|}{x-2}\\\\\\ =\lim_{x\to 2}~g(x)~~~~~~\mathbf{(i)}$

sendo $g(x)=\dfrac{|x-2|}{x-2}\,,~~~x \ne 2.$


Pela definição de valor absoluto de um número real, temos que

$g(x)=\left\{ \begin{array}{lc} \dfrac{x-2}{x-2}\,,&\text{se }x>2\\\\ \dfrac{-(x-2)}{x-2}\,,&\text{se }x<2 \end{array} \right.$


isto é,

$g(x)=\left\{ \begin{array}{rc} 1\,,&\text{se }x>2\\\\ -1\,,&\text{se }x<2 \end{array} \right.$


No limite $\mathbf{(i)},$

$\bullet~~$ fazendo $x\to 2^{+}$ (isto é, $x$ tende a $2$ por valores maiores que $2$ ), temos

$\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}{g(x)}\\\\\\ =\lim_{x\to 2^{+}}{1}=1~~~~~~\mathbf{(ii)}$


$\bullet~~$ fazendo $x\to 2^{-}$ (isto é, $x$ tende a $2$ por valores menores que $2$ ), temos

$\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}{g(x)}\\\\\\ =\lim_{x\to 2^{-}}{(-1)}=-1~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Por $\mathbf{(ii)}$ e $\mathbf{(iii)}\,,$ detectamos que os limites laterais diferem. Logo,

$\lim\limits_{x\to 2}~{g(x)}~~\text{n\~{a}o existe.}$

e dessa forma, $f$ não é derivável em $x_{0}=2.$