Question

Usando a definição, calcule a derivada de cada uma das funções abaixo. Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( a, f ( a ) ), para o valor de a indicado, justifique cada resposta:

Answer 1

Para encontrar a derivada dessas funções pela definição, devemos primeiro lembrar da expressão da definição de derivada, que é:

$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f( \Delta x + x) - f(x) }{\Delta x}$

Inicialmente temos:

$a) \: f(x) = \sqrt{x} - 3, \: a = 4$

Pela definição, devemos calcular a função mais um acréscimo ∆x, então:

$f(x) = \sqrt{x} - 3 \\ f(\Delta x+ x) = \sqrt{\Delta x + x} - 3$

Substituindo essa informação e a função na relação da derivada pela definição:

$y'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{\Delta x+x}-3-( \sqrt{x} - 3) }{ \Delta x} \\ \\ y'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{\Delta x+x}-3- \sqrt{x} + 3}{ \Delta x} \\ \\ y' = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{ \sqrt{\Delta x + x} - \sqrt{x} }{\Delta x}$

Assim como nos limites, vamos fazer uma manipulação algébrica multiplicando a fração pelo conjugado do numerador:

$y' = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{ \sqrt{\Delta x + x} - \sqrt{x} }{ \Delta x } . \frac{ \sqrt{\Delta x + x} + \sqrt{x} }{ \sqrt{\Delta x + x} + \sqrt{x} }\\ \\ y' = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta x + x - x}{\Delta x.( \sqrt{\Delta x + x} + \sqrt{x}) } \\ \\ y' = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x.( \sqrt{\Delta x + x} + \sqrt{x}) }$

Cancela o ∆x das expressões:

$y' = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{1}{ \sqrt{\Delta x + x} + \sqrt{x} }$

Certamente não há indeterminação, então vamos substituir o valor a qual o "x" tende:

$y' = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{1}{ \sqrt{0 + x} + \sqrt{x} } \\ \\ y' = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{1}{ \sqrt{x} + \sqrt{x} } \\ \\ y' = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x} }$

Como a variável do limite é ∆x, então podemos dizer que essa expressão do limite é uma constante e como sabemos o limite de uma constante é a própria constante:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y' = \frac{1}{2 \sqrt{x} }$

Portanto essa é a derivada. A questão também pede a equação da reta tangente, para isso devemos lembrar que a derivada é basicamente o coeficiente angular da reta tangente, ou seja, o que acabamos de calcular é o coeficiente da reta tangente, para encontrar um valor numérico, vamos substituir o valor informado pela questão, que é x = a = 4, então:

$y' = m = \frac{1}{2. \sqrt{4} } \\ \\ m = \frac{1}{2.2} \: \to \: m = \frac{1}{4}$

Esse é o coeficiente angular, agora para montar a reta, devemos saber o ponto em que ela passa, o valor de x já sabemos, que é x = 4, para descobrir o valor de y basta substituir o valor de x na funcão inicial, então:

$y = \sqrt{x} - 3 \: \to \: y = \sqrt{4} - 3 \\ y = 2 - 3 \: \to \: y = - 1$

Portanto temos o ponto P(4,-1) e m = 1/4, então:

$y - y_{0} = m.(x - x_{0}) \\ y + 1 = \frac{1}{4} .(x - 4) \\ y + 1 = \frac{x}{4} - 1 \\ \boxed{y = \frac{x}{4} - 2 }$

Espero ter ajudado