Question

Usando a análise de malhas, determine Io no circuito da Figura 1 a seguir.

R1 = R2 (Ω) equivale a 77

Answer 1

No circuito mostrado, podemos ver claramente a presença de três malhas simples percorridas pelas correntes de malha a₁ a₂ a₃ destacadas no desenho.

Ainda inspecionando o circuito, podemos notar a presença de uma fonte de tensão dependente da corrente i₀. Note que i₀ tem módulo e sentido iguais à corrente de malha i₃, ou seja, podemos dizer que:

$\boxed{\sf i_o~=~i_3}$

Ainda, antes de começarmos a montagem das equações de malha, é importante considerarmos as correntes que passam nos resistores de 4Ω, 8Ω e 77Ω (R1), localizados em ramos que dividem duas malhas. Perceba que as correntes nestes resistores serão dadas em função das correntes de malha utilizando-se o princípio da superposição.

Sem mais delongas, vamos montar as equações utilizando a Lei de Kirchhoff das Tensões.

$\sf Malha~percorrida~por~i_1:\\\\+16~-~(i_1-i_3)\cdot 4~-~(i_1-i_2)\cdot 77~=~0\\\\16~-~4i_1~+~4i_3~-~77i_1~+~77i_2~=~0\\\\81i_1-77i_2-4i_3~=~16~~~~~~~\Longleftarrow~ i_3=i_o\\\\\boxed{\sf 81i_1-77i_2-4i_o~=~16}$

$\sf Malha~percorrida~por~i_2:\\\\+10i_o~-~(i_2-i_1)\cdot 77~-~(i_2-i_3)\cdot 8~=~0\\\\10i_o~-~77i_2~+~77i_1~-~8i_2~+~8i_3~=~0\\\\77i_1~-~85i_2~+~8i_3~+~10i_o~=~0~~~~~~~\Longleftarrow~ i_3=i_o\\\\\boxed{\sf 77i_1~-~85i_2~+~18i_o~=~0}$

$\sf Malha~percorrida~por~i_3:\\\\-i_3\cdot 6~-~(i_3-i_2)\cdot 8~-~(i_3-i_1)\cdot 4~=~0\\\\-6i_3~-~8i_3~+~8i_2~-~4i_3~+~4i_1~=~0\\\\4i_1~+~8i_2~-~18i_3~=~0~~~~~~~\Longleftarrow~ i_3=i_o\\\\\boxed{\sf 4i_1~+~8i_2~-~18i_o~=~0}$

Chegamos então em um sistema de equações com 3 equações e 3 incógnitas (i₁, i₂ e i₀), do qual temos interesse único no valor de i₀.

$\left\{\begin{array}{rrrcc}\sf 81i_1&\sf -77i_2&\sf -4i_o&\sf =&\sf 16\\\sf 77i_1&\sf -85i_2&\sf +18i_o&\sf =&\sf 0\\\sf 4i_1&\sf +8i_2&\sf -18i_o&\sf =&\sf 0\end{array}\right.$

Para determinarmos o valor de i₀, podemos utilizar qualquer método conhecido de sistemas de equações (substituição, escalonamento, Cramer etc).

Como não é o foco do exercício, vou omitir estes cálculos, mas chega-se facilmente a:

$\boxed{\sf i_o~=\,-4~A}$

Obs.: O sinal negativo nos indica que o sentido de i₀ no desenho está invertido.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$