Question

Usando 6 subintervalos, 4 casas decimais e a regra 3/8 de Simpson generalizada, o valor aproximado da integral abaixo é:



$\int _1^2\:\frac{cos\:x}{\left(1+x\right)}dx$

..


A-0,0126


B-0,0242


C-0,0408


D-0,0654


E-0,0876

Answer 1

Regra 3/8 de Simpson:

$I \approx \dfrac{3 \cdot h}{8} \cdot (f(x_0) + 3 \cdot f(x_1) + 3 \cdot f(x_2) + f(x_3) + f(x_3) + 3 \cdot f(x_4) + 3 \cdot f(x_5) + f(x_6))$

Primeiro calculamos o passo de integração:

$h = \dfrac{b - a}{n}$

Onde:

a = Limite inferior de integração;

b = Limite superior de integração;

n = Número de subintervalos.

Assim sendo:

$h = \dfrac{2 - 1}{6}$

$h = \dfrac{1}{6} \approx 0.1667$

Ok, vamos calcular o valor da função em cada subintervalo:

$f(x_0) = f(a) = \dfrac{\cos(a)}{1+a} = \dfrac{\cos(1)}{1+1} = \cos(1)/2 \approx 0.2701$

$f(x_1) = f(a+h) = \dfrac{\cos(a+h)}{1+a+h} = \dfrac{\cos(1.1667)}{2.1667} \approx 0.1815$

$f(x_2) = f(a+2\cdot h) = \dfrac{\cos(a+2 \cdot h)}{1+a+2\cdot h} = \dfrac{\cos(1.3334)}{2.3334} \approx 0.1008$

$f(x_3) = f(a+3\cdot h) = \dfrac{\cos(a+3 \cdot h)}{1+a+3\cdot h} = \dfrac{\cos(1.5)}{2.5} \approx 0.0283$

$f(x_4) = f(a+4\cdot h) = \dfrac{\cos(a+4 \cdot h)}{1+a+4\cdot h} = \dfrac{\cos(1.6667)}{2.6667} \approx -0.0359$

$f(x_5) = f(a+5\cdot h) = \dfrac{\cos(a+5 \cdot h)}{1+a+5\cdot h} = \dfrac{\cos(1.8334)}{2.8334} \approx -0.0916$

$f(x_6) = f(b) = \dfrac{\cos(b)}{1+b} = \dfrac{\cos(2)}{3} \approx -0.1387$

(Lembrando que aqui o argumento do cosseno é em radianos)

Agora substituimos na equação de Simpson:

$I \approx \dfrac{3 \cdot 0.1667}{8} \cdot (0.2701 + 3 \cdot 0.1815 + 3 \cdot 0.1008 + 2 \cdot 0.0283 + 3 \cdot (-0.0359)+ 3 \cdot (-0.0916) -0.1387)$

$I \approx \dfrac{0.5}{8} \cdot (0.2701 + 0.5445 + 0.3024 + 0.0566 - 0.1077 -0.2748 -0.1387)$

$I \approx 0.0625 \cdot (0.6524)$

$\boxed{I \approx 0.0408}$

Alternativa C