Question

usanddo o teorema fundamental do calculo encontre a area sob o grafico das sequintes funções dadas por f(x): a) f(x)= x²-2x=4,com 1 menor e igual x menor 3 b) f(x)=160-3x,como 0 menor e igual x menor e igual 40

Answer 1

A integral de uma curva pode ser interpretada como a área sob esta curva. O teorema fundamental do cálculo diz que se f é contínua no intervalo [a,b], então a integral definida
$\int\limits^a_b {f(x)} \, dx = F(b)-F(a)$
onde F é a função primitiva ou antiderivada de f.

Letra A
A função é f(x) = x² -2x + 4

Então a área sob a curva é:
$F(x) =\int {x^2-3x+4} \, dx = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3x^2}{2} +4x \\ \\ F(a) = F(1) = \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{2} +4 = \dfrac{2-9+24}{6} = \dfrac{17}{6} \\ \\ F(b) = F(3) = \dfrac{3^3}{3} - \dfrac{3^3}{2} +12= 9 - \dfrac{27}{2} + 12 = \dfrac{18-27+24}{2} = \dfrac{15}{2} \\ \\ \\ A = F(b) - F(a) = \dfrac{15}{2} - \dfrac{17}{6} = \dfrac{45-17}{6} = \dfrac{14}{3}$

Letra B
A função é f(x) = 160 - 3x

Então a área sob a curva é:
$F(x) =\int {160-3x} \, dx = 160x- \dfrac{3x^2}{2} \\ \\ F(a) = F(0) = 0 \\ \\ F(b) = F(40) = 6400- 2400 = 4000 \\ \\ \\ A = F(b) - F(a) = 4000 - 0 = 4000$