Question

URGENTEEEEE
(COVEST) Sendo α a circunferência de equação (x − 3)^2 + (y − 2)^2 = 4 e r a reta de equação y =2x − 4, é incorreto afirmar que:
a) r contém um diâmetro de α.
b) α é tangente ao eixo dos x no ponto (3, 0).
c) A área do círculo determinado por α é 4π unidades de área.
d) O ponto (2, 0) está mais próximo do centro de α que o ponto (5, 4).
e) Os pontos (1, 1) e (4, 3) estão no interior de α.

Answer 1

Só precisamos de duas coisas :

1º Circunferência :

$(\text x - \text x_\text c)^2 + (\text y- \text y_\text c)^2 = \text R^2$

onde :

$\text x_\text c \ , \ \text y_\text c =$ coordenadas do centro

$\text R =$ Raio da circunferência

2º Distância do ponto à reta

$\displaystyle \text D = \frac{|\text{a.x}_\text o+\text{b.y}_\text o+\text c| }{\sqrt{\text a^2+\text b^2 }}$

onde :

$\text x_\text o \ , \text y_\text o =$ coordenadas do ponto

$\text{a , b , c }=$ coeficientes da reta de uma qualquer  ( a.x + b.y + c )  

Sabendo disso, podemos descobrir se uma reta/ponto é interior ou exterior à circunferência.

Seja D a distância do ponto à circunferência, temos os casos :

* D = R - Pertence à circunferência.

* D < R - Interior à circunferência.

* D > R - Exterior à circunferência.

Temos a circunferência :

$\alpha : (\text x-3)^2+(\text y-2)^2 = 4$

centro $\text C (\ 3\ ,2\ )$ e R = 2

Obs : Se o y do centro vale 2 e o raio também vale 2, logo a circunferência é tangente ao eixo x.

e temos a reta :

$\text r : \text y = 2\text x-4 \to \boxed{\text r : 2\text x - \text y - 4 }$

Fazendo a distância do centro da circunferência até a reta r e analisando se é igual, menor ou maior que o raio.

$\displaystyle \text D = \frac{|\text{a.x}_\text o+\text{b.y}_\text o+\text c| }{\sqrt{\text a^2+\text b^2 }}$

$\displaystyle \text D = \frac{|2.3 + -1.2-4| }{\sqrt{3^2+(-1)^2 }}$

$\displaystyle \text D = \frac{|6 -2-4| }{\sqrt{9+1 }}$

$\displaystyle \text D = \frac{0 }{\sqrt{10 }}$

$\displaystyle \text D = 0$

Se a distância deu 0, quer dizer que a reta r passa no centro da circunferência, logo, r contém o diâmetro de $\alpha$

Visto que a circunferência é tangente ao eixo x no ponto (3,0).

A ) Correta

B ) Correta

C ) Correta ( área = $\pi.r^2 = 2^2.\pi = 4.\pi$ )

D ) Comparando as distância do ponto (2,0) ao centro da circunferência e do ponto (5,4) ao centro da circunferência :

$(3,2) \to (2,0) \ : \sqrt{(3-2)^2+(0-2)^2 } \to \sqrt{5}$

$(3,2) \to (5,4) \ : \sqrt{(3-5)^2+(0-4)^2 }\to \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Correta, o ponto (2,0) está mais próximo.

E) Incorreta. Substituindo os ponto (1,1) e (4,3) na equação da circunferência temos :

$(1-3)^2+(1-2)^2 = 4 \to 5 = 4 \ (\text {ABSURDO})$

Exterior à circunferência.

$(4-3)^2 + ( 3-2)^2 = 4 \to 2 = 4 \ (\text{ABSURDO})$

Interior à circunferência.

$\huge\boxed{\text{GABARITO : E }}\checkmark$