Question

URGENTEEE POR FAVOR!!!

Se um cone reto de altura h = 12 tem a área lateral igual ao triplo da área da base, o seu volume é:
A) 72π
B) 64π
C) 56π
D) 48π
E) 36π

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Gabriel, que é simples.

Pede-se o volume de um cone reto, cuja altura é "12"sabendo-se que a sua área lateral é o triplo da área da base.

Antes veja que o volume (V) de um cone é dado por:

V = π*r²*h/3     . (I)

Na fórmula acima, tem-se que "r²" é o raio ao quadrado e "h" é a altura.

Bem, vamos deixar a fórmula do volume guardada aí em cima, pois vamos utilizá-la daqui a pouco.
Agora vamos às informações que foram dadas sobre esse cone reto.
Tem-se que a área lateral é o triplo da área da base.
Antes veja que a área lateral e a área da base de um cone são dadas por:

AL = π*r*g, em que "AL" é a área lateral, "r" é o raio e "g" é a geratriz.
e
AB = π*r², em que "AB" é a área da base e "r²" é o raio ao quadrado.

Assim, como a sua área lateral (π*r*g) é igual ao triplo (3) da área da base (π*r²), então teremos que:

π*r*g = 3*π*r² ----- dividindo-se ambos os membros por "π*r" vamos ficar apenas com:

g = 3*r    . (II)

agora veja que g² = r² + h², em que "g²" é a geratriz ao quadrado, "r²" é o raio ao quadrado e "h²" é a altura ao quadrado.
Então, como a altura é "12", então teremos que:

g² = r² + 12²
g² = r² + 144
g = √(r²+144)    . (III)

Agora vamos na expressão (II), que é esta:

g = 3*r ---- substituindo-se "g" por seu valor encontrado aí em cima, conforme vimos na expressão (III), teremos:
 
√(r²+144) = 3r ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando:

[√(r²+144)]² = (3r)² ----- desenvolvendo, temos:

r² + 144 = 9r² ---- passando "r²" do 1º para o 2º membro, temos:
144 = 9r² - r²
144 = 8r² ---- vamos apenas inverter, ficando:
8r² = 144
r² = 144/8
r² = 18
r = +-√(18) ---- veja que 18 = 3²*2. Assim:
r = +-√(3²*2) ---- como o "3" está ao quadrado, então ele sai de dentro da raiz quadrada, ficando assim:

r = +- 3√(2) ---- mas como o raio não é negativo, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

r = 3√(2)   <--- Esta é a medida do raio.

Bem, como já temos tudo para encontrar o volume (V) do cone da sua questão, então vamos calculá-lo. Vamos, então, utilizar a fórmula do volume, que deixamos lá na expressão (I) e que é esta:

V = π*r²*h/3 ----- substituindo-se "h" por "12" e "r" por "3√(2)", teremos:

V = π*[3√(2)]²*12/3
V = π*9*2*12/3
V = π*216/3 ----- veja que 216/3 = 72. Assim:
V = π*72 --- ou apenas:
V = 72π <--- Esta é a resposta. Opção "a". Este é o volume pedido.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.