Question

URGENTEEE POR FAVOR Determine a equação da elipse que possui vértices A1(1, −4), A2(1, 8) e excentricidade e =2/3

Answer 1

Resposta:

$\frac{(X-1)^2}{2\sqrt{5}} + \frac{(Y- 2)^2}{36} = 1$

Explicação passo a passo:

Se ambos os vértices tem abscissa 1, então a elipse é vertical e a distância entre as ordenadas é a medida do eixo maior (2a). Logo:

2a = 8 - (-4) = 12

a = 6 (semieixo maior)

Ele deu também a excentricidade, que é calculada pela razão entre a distância focal (c) e o semieixo maior:

$e = \frac{c}{a} \\\\\frac{2}{3} = \frac{c}{6} \\\\c = 4$

Tendo "a" e "c" podemos achar o semieixo menor (b) usando a relação fundamental (que é um teorema de Pitágoras):

$a^2 = b^2 + c^2\\6^2 = b^2 + 4^2\\b = 2\sqrt{5}$

Com isso podemos achar o centro da elipse, que terá a mesma abscissa que os vértices (1). Para achar a ordenada do centro podemos pegar a ordenada do vértice superior (A2) e subtrair do eixo maior:

8 - 6 = 2

Com isso podemos escrever a equação:

$\frac{(X-X_c)^2}{b^2} + \frac{(Y- Y_c)^2}{a^2} = 1\\\\\frac{(X-1)^2}{2\sqrt{5}} + \frac{(Y- 2)^2}{36} = 1$