Question

URGENTE! (VALENDO 40 PONTOS!)

QUESTÃO SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS:

RESOLVER A EQUAÇÃO x³+i=0

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre números complexos.

Devemos resolver a seguinte equação em $\mathbb{C}$:

$x^3+i=0$

Esta é uma equação cúbica. De acordo com o Teorema Fundamental da Álgebra, demonstrado por Gauss, uma equação de grau $n$ admite $n$ soluções.

Assim, devemos determinar as três raízes desta equação.

Subtraia $i$ em ambos os lados da equação

$x^3=-i$

Considere o número complexo $z=0-i$. Reescrevemos a equação de modo que tenhamos:

$x^3=z\\\\\\ x =\sqrt[3]{z}$

Para calcularmos as raízes deste número complexo, utilizamos a 2ª lei de De Moivre, para a radiciação de números complexos: Dado um número complexo $z=a+bi\Rightarrow z=|z|\cdot e^{i\theta}$, em que $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, suas raízes são dadas por $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right),~k\in\mathbb{Z},~0\leq k\leq n-1$.

Primeiro, determinamos o módulo e argumento $\theta$ utilizando a fórmula descrita acima: use $a=0$ e $b=-1$

$|z|=\sqrt{0^2+(-1)^2}=\sqrt{0+1}=\sqrt{1}=1\\\\\\ -i=1\cdot e^{i\theta}\\\\\\ -i=e^{i\theta}\\\\\\ i\theta=\ln(-i)\\\\\\ i\theta=-i\dfrac{\pi}{2}\\\\\\ \theta=-\dfrac{\pi}{2}$

Então, substituímos os valores na fórmula da 2ª lei de De Moivre:

$x_1=1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{-\dfrac{\pi}{2}+2\cdot0\cdot \pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{-\dfrac{\pi}{2}+2\cdot0\cdot \pi}{3}\right)\right)\\\\\\ x_2=1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{-\dfrac{\pi}{2}+2\cdot1\cdot \pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{-\dfrac{\pi}{2}+2\cdot1\cdot \pi}{3}\right)\right)\\\\\\ x_3=1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{-\dfrac{\pi}{2}+2\cdot2\cdot \pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{-\dfrac{\pi}{2}+2\cdot2\cdot \pi}{3}\right)\right)$

Multiplique e some os valores

$x_1=\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\\\\\\ x_2=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\\\\\\ x_3=\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)$

Calcule os valores, sabendo que $\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2},~\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}$, $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0,~\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$, $\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e $\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}$

$x_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\cdot\dfrac{1}{2}\\\\\\ x_2=0+i\cdot1\\\\\\ x_3=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\cdot\dfrac{1}{2}$

O conjunto solução desta equação é:

$\boxed{\bold{S=\left\{x\in\mathbb{C}~\biggr|~x=\dfrac{\sqrt{3}-i}{2}~ou~x=i~ou~x=\dfrac{-\sqrt{3}-i}{2}\right\}}}$