Question

URGENTE! (VALENDO 40 PONTOS) MATEMÁTICA! QUESTÃO SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS:
Calcule: (1+i√3)²⁰

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades sobre números complexos.

Seja o número complexo $z=a+bi$ cuja forma trigonométrica é escrita como $z=|z|\cdot(\cos(\theta)+i\cdot\sin(\theta))$, em que $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ é o módulo do número complexo $z$ e $\theta=\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$ é o argumento de $x$.

De acordo com a 1ª lei de De Moivre, a potência de um número complexo é calculada pela fórmula: $z^n=|z|^n\cdot(\cos(n\cdot\theta)+i\cdot\sin(n\cdot\theta))$.

Assim, devemos calcular a potência: $(1+i\sqrt{3})^{20}$

Primeiro, calculamos o módulo do número complexo, utilizando $a=1$ e $b=\sqrt{3}$:

$|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}\\\\\\ |z|=\sqrt{1+3}\\\\\\ |z|=\sqrt{4}\\\\\\ |z|=2$

Agora, calculamos o argumento do número complexo

$\theta=\arctan\left(\dfrac{\sqrt{3}}{1}\right)\\\\\\ \theta=\arctan(\sqrt{3})$

Sabendo que $\arctan(\sqrt{3})=\dfrac{\pi}{3}$, teremos:

$\theta=\dfrac{\pi}{3}$

Então, utilizamos a 1ª lei de De Moivre, com $n=20$:

$(1+i\sqrt{3})^{20}=2^{20}\cdot\left(\cos\left(20\cdot\dfrac{\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(20\cdot\dfrac{\pi}{3}\right)\right)$

Calcule os valores, sabendo que $\cos\left(\dfrac{20\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$ e $\sin\left(\dfrac{20\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$(1+i\sqrt{3})^{20}=2^{20}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}+i\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Multiplique os valores

$(1+i\sqrt{3})^{20}=-2^{19}\cdot(1 - i\sqrt{3})~~\checkmark$

Este era o resultado que buscávamos.