Question

URGENTE!!! Sou um ângulo agudo do primeiro quadrante, a soma do dobro do meu cosseno com o produto de 2 raiz de 3 pelo o meu seno é 2 raiz de 3 . Qual o valor da minha tangente?

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades das relações trigonométricas.

Sabemos que, dado um ângulo agudo do primeiro quadrante, que consideraremos $\alpha$, a soma do dobro de seu cosseno com o produto de $2\sqrt{3}$ pelo seu seno é $2\sqrt3$.

Em linguagem matemática, temos a equação:

$2\cdot\cos(\alpha)+2\sqrt{3}\cdot\sin(\alpha)=2\sqrt{3}$, em que $\alpha\in\left[0,~\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Comecemos dividindo ambos os lados da equação por $2\cdot\cos(\alpha)$, de modo que tenhamos:

$\dfrac{2\cdot\cos(\alpha)+2\sqrt{3}\cdot\sin(\alpha)}{2\cdot\cos(\alpha)}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2\cdot\cos(\alpha)}\\\\\\ 1+\dfrac{\sqrt{3}\cdot\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\dfrac{\sqrt{3}}{\cos(\alpha)}$

Sabendo que $\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\tan(\alpha)$ e $\dfrac{1}{\cos(\alpha)}=\sec(\alpha)$, temos

$1+\sqrt{3}\cdot\tan(\alpha)=\sqrt{3}\cdot\sec(\alpha)$

Elevamos ambos os lados ao quadrado, de modo que

$1+2\sqrt{3}\tan(\alpha)+3\cdot\tan^2(\alpha)=3\cdot\sec^2(\alpha)$

Lembre-se da identidade trigonométrica: $sec^2(\alpha)=\tan^2(\alpha)+1$

$1+2\sqrt{3}\tan(\alpha)+3\cdot\tan^2(\alpha)=3\cdot(\tan^2(\alpha)+1)\\\\\\\ 1+2\sqrt{3}\tan(\alpha)+3\cdot\tan^2(\alpha)=3\cdot\tan^2(\alpha)+3$

Cancelamos os termos opostos pelo sinal de igualdade, subtraindo $3\cdot\tan^2(\alpha)$ em ambos os lados da equação

$1+2\sqrt{3}\tan(\alpha)+3\cdot\tan^2(\alpha)=3\cdot(\tan^2(\alpha)+1)\\\\\\\ 1+2\sqrt{3}\tan(\alpha)=3$

Subtraímos $1$ em ambos os lados da equação

$2\sqrt{3}\cdot\tan(\alpha)=2$

Divida ambos os lados da equação por $2\sqrt{3}$

$\dfrac{2\sqrt{3}\cdot\tan(\alpha)}{2\sqrt{3}}=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}\\\\\\ \tan(\alpha)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Racionalizamos o denominador, multiplicando a fração por $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$\tan(\alpha)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\\\\\ \tan(\alpha})=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Esta é a tangente do ângulo que buscávamos.