Question

Urgente! Seja u= $\frac{x^{2}y^{2} }{x+y}$

mostre que $x\frac{∂u}{∂x} + y\frac{∂u}{∂y} =3u$

Answer 1

Boa tarde!!

Calculando a derivada parcial de u em relação a x temos:

$\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{2xy^2.(x+y)-x^2y^2}{(x+y)^2}\\\\\\\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{x^2y^2+2xy^3}{(x+y)^2}$

Multiplicando por x e separando em duas frações teremos:

$\dfrac{\partial u}{\partial x}.x = \dfrac{x^3y^2}{(x+y)^2}+\dfrac{2x^2y^3}{(x+y)^2}$

Calculando agora a derivada parcial de u em relação a y, que é bastante semelhante e multiplicando por y temos:

$\dfrac{\partial u}{\partial y}.y = \dfrac{x^2y^3}{(x+y)^2}+\dfrac{2y^2x^3}{(x+y)^2}$

Somando os termos:

$\dfrac{\partial u}{\partial x}.x+\dfrac{\partial u}{\partial y}.y=\dfrac{x^3y^2}{(x+y)^2}+\dfrac{2x^2y^3}{(x+y)^2}+\dfrac{x^2y^3}{(x+y)^2}+\dfrac{2y^2x^3}{(x+y)^2}\\\\\\\dfrac{\partial u}{\partial x}.x+\dfrac{\partial u}{\partial y}.y =\dfrac{3x^3y^2}{(x+y)^2}+\dfrac{3y^3x^2}{(x+y)^2}$

Note que no primeiro termo da soma temos $\frac{3ux}{(x+y)}$ e no segundo termo da soma temos $\frac{3uy}{(x+y)}$, logo:

$\dfrac{\partial u}{\partial x}.x+\dfrac{\partial u}{\partial y}.y = \dfrac{3ux}{x+y}+\dfrac{3uy}{x+y}\\\\\\\dfrac{\partial u}{\partial x}.x+\dfrac{\partial u}{\partial y}.y =3u\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{x+y}\right)\\\\\\\dfrac{\partial u}{\partial x}.x+\dfrac{\partial u}{\partial y}.y =3u\left(\dfrac{x+y}{x+y}\right)\\\\\\\Rightarrow \dfrac{\partial u}{\partial x}.x+\dfrac{\partial u}{\partial y}.y =3u$

Espero ter ajudado, bons estudos!