Question

URGENTE!!!!!!!!!!
Seja A uma matriz 2 x 3 e B uma matriz n x m, então a alternativa FALSA é:

a) existem AB e BA se, e somente se, n = 3 e m = 2;
b) A + B = B + A sendo, n = 2 e m = 3;
c) existe A + B se, e somente se, n = 2 e m = 3
d) existe AB se, e somente se, n = 2 e m = 3;

Answer 1

A questão trata de operação entre matrizes, em especial, trata dos requisitos que duas matrizes devem possuir para que os operadores de soma e multiplicação sejam cumpridos. Em geral, e para operarmos mais facilmente com matrizes, denotamo-las por meio de

$A = (a_{ij})$

Este tipo de notação explicita que A é uma matriz formada pelos elementos $a_{ij}$, o que permite uma fácil notação, já que a soma e multiplicação por escalar são lineares, ou seja,

$i)\, A+B =  (a_{ij})+(b_{ij}) = (a_{ij}+b_{ij})$

$ii)\,\alpha\cdot A = \alpha \cdot (a_{ij}) = (\alpha \cdot a_{ij})$

Em i), o resultado que temos é de que cada elemento da matriz resultante da soma de duas matrizes é a soma dos termos das matrizes, já em ii), multiplicar a matriz por um escalar tem o efeito de multiplicar todos os elementos de A pelo escalar. De i) obtemos que duas matrizes só podem ser somadas se têm a mesma ordem n x m, caso contrário existiriam termos que existem em uma, mas não existem na outra, sendo impossível a soma.

Além de soma, as matrizes são uma álgebra sobre o produto, isso quer dizer que podemos definir a multiplicação entre matrizes, se A for uma matriz n x k e B uma matriz k x m, a multiplicação se dá por

$(AB)_{ij} = \displaystyle\sum_{t=1}^{k} a_{it}\cdot b_{tj}$

Duas matrizes podem ser multiplicadas se, e somente se, o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, por definição. Partindo ao exercício, é nos dado duas matrizes, A e B, a primeira de ordem 2 x 3 e a segunda de ordem n x m. Analisaremos alternativa por alternativa buscando a afirmação falsa.

a) Existem AB e BA se, e somente se, n = 3 e m = 2

Como vimos, para AB existir, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B, portanto, n deve ser igual à 3. Já para BA existir, o número de colunas de B deve ser igual, agora, ao número de linhas de A, deste modo, m deve ser igual à 2. A afirmação, portanto, é verdadeira e devemos continuar a procurar a sentença falsa.

b)  A + B = B + A sendo, n = 2 e m = 3

Somar matrizes requer que ambas as matrizes possuam a mesma ordem, deste modo, se A+B existe e A é de ordem 2 x 3, B também deve ser de ordem 2 x 3, além disso, como a soma de matrizes é somente a soma termo a termo de números dentro das matrizes, não importa a ordem em que somamos, assim, trata-se de uma sentença verdadeira.

c) Existe A + B se, e somente se, n = 2 e m = 3

Esta afirmação é parte da afirmação anterior e já foi mostrado que está correta.

d) Existe AB se, e somente se, n = 2 e m = 3;

Esta afirmação é parte da sentença da alternativa a), AB só existe se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, deste modo, se B tem ordem n x m, n deve ser igual à 3, o que contradiz a alternativa, que fala que n = 2. Portanto, a afirmação é falsa, obtendo a resposta.