Question

[URGENTE] Se √x = 1+ √3, qual é o valor de x^2 ?


a) 28 + 16√3

b) 24 +8√3

c) 16 +12√3

d) 18 +20√3

e) 22 + 14√3


POR FAVOR É PRA UM VESTIBULAR, então por favor mostre a linha de raciocínio e não apenas escreva os números, por favor explique a fórmula <3

Answer 1

Olá...

Ele nos fornece uma equação: √x = 1 + √3.

Ele quer saber o valor x quando ele estiver ao quadrado: x².

Para isso, faz-se necessário isolar o x da primeira equação, lançando a raiz para o outro membro da igualdade em forma de potência de dois, pois a raiz é quadrada

√x = 1 + √3
x = (1 + √3)²

(1 + √3)² é igual a (1 + √3)×(1 + √3), então devo aplicar a distributiva:

x = (1 + √3)²
x = (1 + √3)×(1 + √3)

x = 1 + √3 + √3 + √3×√3
x = 1 + 2√3 + √3×√3

Se lembra de uma propriedade da raiz, em que quando se multiplica raízes de índices iguais, mantém o índice e multiplica o radicando? Não, então vamos lembrar agora!

Como regra geral: √n × √m = √n×m

terminando a equação acima:

x = 1 + 2√3 + √(3×3)
x = 1 + 2√3 + √3²
x = 1 + 2√3 + 3
x = 4 + 2√3

chegamos que √x = 1 + √3 é igual a x = 4 + 2√3.

Agora ele quer saber o valor de x, que por lógica foi o que isolamos x = 4 + 2√3, quando ele for x². O que nos resta agora é substituir o x:

x²
(4 + 2√3)²
(4 + 2√3)×(4 + 2√3) ← aplica a distributiva.

16 + 8√3 + 8√3 + 4(√3)²
16 + 16√3 + 4×√3×√3
16 + 16√3 + 4×√3²
16 + 16√3 + 4×3
16 + 16√3 + 12
28 + 16√3 ← RESULTADO FINAL

chegando à alternativa a) 28 + 16√3