Question

URGENTE!!!! Sabendo que h(x)= -4+ cotg(-2x), determine h(2π/3).

ALTERNATIVAS
a) (2√3)/3
b) 1/2
c)(4√3)/3
d) 0
e)√2/2

SE RESPONDER ERRADO EU DENUNCIO E VOCÊ PERDE A CONTA!!!! ​

Answer 1

O valor de $h\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ é

$\Large\text{ \dfrac{-12-\sqrt{3}}{3}. }$

Explicação

Dada a função $h(x)=-4+\text{cotg}\,(-2x)$ deseja-se saber o valor de $h\left(\dfrac{2\pi}{3}\right).$

Para tanto, de início, substitua 2π/3 no lugar de x.

$\Large\begin{gathered}h(x)=-4+\text{cotg}\,(-2x)\\\\h\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-4+\text{cotg}\,\left(-2\cdot\dfrac{2\pi}{3}\right)\\\\h\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-4+\text{cotg}\,\left(\dfrac{-4\pi}{3}\right)\end{gathered}$

A função cotangente é ímpar. Desse modo, segue que:

$\Large\begin{gathered}h\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-4+\text{cotg}\left(\dfrac{-4\pi}{3}\right)\\\\h\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-4-\text{cotg}\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)\end{gathered}$

O arco de medida $\dfrac{4\pi}{3}$ é côngruo ao de medida $\dfrac{\pi}{3}.$ Assim sendo, eles possuem a mesma cotangente. Sendo $\dfrac{\pi}{3}$ um ângulo notável, sabe-se que sua tangente é $\sqrt{3}.$ Como a cotangente de um ângulo x é igual ao inverso multiplicativo da tangente do mesmo ângulo, ou seja,

$\Large\text{ \text{cotg}\,x=\dfrac{1}{\text{tg}\,x}, }$

decorre que

$\Large\text{ \text{cotg}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}. }$

Logo, temos $\text{cotg}\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ e, consequentemente, segue que:

$\Large\begin{gathered}h\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-4-\text{cotg}\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)\\\\h\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-4-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\\\h\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{12}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\\\\boxed{\boxed{h\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{-12-\sqrt{3}}{3}}}\end{gathered}$

Se houver dúvidas, comente.

Espero ter ajudado!