Question

(URGENTE) Sabe –se que num triângulo retângulo, os catetos medem x cm e (x + 1) cm. Qual é o perímetro deste triângulo, onde a hipotenusa mede 29 cm? 

A) 90

B) 80

C) 60

D) 70

E) 50

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Answer 1

O perímetro procurado é 70 cm, isto é, a resposta correta é a alternativa D.

Explicação

Desejamos saber o perímetro de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 29 cm e cujos catetos medem x cm e (x + 1) cm.

O perímetro do triângulo corresponde à soma das medidas dos seus lados.  Seja P o perímetro. Desse modo, segue que:

$\Large\begin{gathered}P=x+(x+1)+29\\\\P=2x+30\quad(\ast)\end{gathered}$

Veja que o perímetro depende do valor de x. Para encontrar tal valor, vamos usar o Teorema de Pitágoras.

$\Large\begin{gathered}x^2+(x+1)^2=29^2\\\\x^2+x^2+2x+1^2=841\\\\2x^2+2x+1-841=0\\\\2x^2+2x-840=0\\\\x^2+x-420=0\end{gathered}$

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula resolutiva.

➠ Cálculo do discriminante:

$\Large\begin{aligned}\Delta&=1^2-4\cdot1\cdot(-420)\\\\\Delta&=1+1680\\\\\Delta&=1681\end{aligned}$

Como o discriminante é positivo temos duas raízes. Porém, como x representa a medida de um lado, o valor negativo não é conveniente. Daí, ficamos com:

$\Large\begin{gathered}x=\dfrac{-1+\sqrt{1681}}{2}\\\\x=\dfrac{-1+41}{2}\\\\x=\dfrac{40}{2}\\\\\boxed{x=20}\end{gathered}$

Desse modo, substituindo x = 20 em $(\ast),$ segue que:

$\Large\begin{gathered}P=2\cdot20+30\\\\P=40+30\\\\\boxed{\boxed{P=70}}\end{gathered}$

Logo, o perímetro deste triângulo é 70 cm.

Resposta: alternativa D.