Question

Urgente! Sabe-se que em $x- \sqrt{x+1} =5$ o valor de x é 8. Pergunta-se: quais os passos para a resolução; parece-nos que, durante o desenvolvimento, chegaremos a uma equação do segundo grau. Ajudem!

Answer 1

Resolver a equação irracional

$x-\sqrt{x+1}=5$


Para isso, fazemos a seguinte mudança de variável:

$\sqrt{x+1}=t,\;\text{ onde }t\geq 0$

pois $t$ é o resultado do cálculo de uma raiz quadrada, que nunca é um número negativo. Continuando, temos

$x+1=t^{2}\\ \\ x=t^{2}-1$


Substituindo na equação original, temos

$\left(t^{2}-1 \right )-t=5\\ \\ t^{2}-t-1-5=0\\ \\ t^{2}-t-6=0\\ \\ t^{2}+2t-3t-6=0\\ \\ t\left(t+2 \right )-3\left(t+2 \right )=0\\ \\ \left(t+2 \right )\left(t-3 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} t+2=0&\text{ ou }&t-3=0\\ \\ t=-2\text{ (n\~{a}o serve)}&\text{ ou }&t=3 \end{array}\\ \\ \\ \boxed{t=3}$


Voltando à variável original $x$, temos

$x=t^{2}-1\\ \\ x=3^{2}-1\\ \\ x=9-1\\ \\ x=8$

Answer 2

x - √x + 1 = 5
- √x + 1 = 5 - x
Elevamos os membros ao quadrado. Logo:
x + 1 = 25 - 10x + x²
x² - 11x + 24 = 0
Δ = (-11)² - 4 . 1 . 24
Δ = 121 - 96 = 25
x' = 11 + 5 / 2 = 16/2 = 8
x'' = 11 - 5 / 2 = 6/2 = 3
Como x'' = 3, não é solução da equação acima, pois 3 - √3 + 1 = 5 ⇒ 3 - 2 = 5 ⇒ 1≠5.
Logo, 8 é a solução verdadeira.