Question

URGENTE
RESOLVA AS SEGUINTES EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS:
A) log x² + log x = 1
B) log4 x + log16 x + log2 x = 7
C) log (x²-1) + log3 = log (2x² + 5x - 9)

Answer 1

A) 

Logx².x (10) = 1 

x³=10¹
x³=10
X=∛10          Condição X > 0 

B) 

Log x (4)+Log x (16) +Log x (2) = 7 

Transforma tudo em base 2 

Logx/Log4+Logx/Log16+Logx/Log2=7     Logx (2)= Y 
Y/2+Y/4+Y=7 mmc = 4 
2y+Y+4y=28
7y=28
y=28/7
y=4

Substituindo  

Logx (2)= 4 
Log X = 2^4
Log X = 16 

S=[16]    Condição:  X>0


C) 

Log(x²-1)+log3=log(2x²+5x-9) 
3(x²-1)=2x²+5x-9
3x²-3=2x²+5x-9
3x²-2x-5x=-9+3
x²-5x+6=0 

Δ=-5²-4.1.6
Δ=25-24
Δ=1 

X=5+-√1/2

X'=5+1/2  = 6/2 = 3
X''=5-1/2  = 4/2 = 2 

Condição  X > 0    

S=[3,2]

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Kanra, que as expressões logarítmicas que estiverem com a base omitida consideraremos base "10". Assim, teremos:

a) log₁₀ (x²) + log₁₀ (x) = 1

Antes de mais nada vamos impor as condições de existência da expressão acima. Como só há logaritmos cujos logaritmandos sejam positivos (>0),então deveremos impor isto:

x² > 0 ---> x > +-√0 ----> x > 0
e
x > 0

Logo, como você viu, tanto num caso como no outro, teremos que "x" deverá ser positivo para que a expressão logarítmica exista.

Como já temos a condição de existência, vamos trabalhar com a expressão do item "a". Assim:

log₁₀ (x²) + log₁₀ (x) = 1 ----- vamos transformar a soma em produto, ficando:
log₁₀ [x²*x] = 1
log₁₀ (x³) = 1 ----- aplicando a definição de logaritmo, veja que isto é a mesma coisa que:

10¹ = x³ --- ou, o que é a mesma coisa:
10 = x³ --- vamos apenas inverter, ficando:
x³ = 10
x = ∛(10) ----- Pronto. Esta é a resposta da expressão do item "a". E veja que ∛(10) é um número maior do que zero (positivo, portanto), atendendo a condição de existência do logaritmando.

Se você quiser, o conjunto-solução poderá ser apresentado assim:

S = {∛10}.


b) log₄ (x) + log₁₆ (x) + log₂ (x) = 7

Condição de existência: que o logaritmando (x) seja positivo. Assim:

x > 0 ----- Esta é a única condição de existência.

Agora vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

log₄ (x) + log₁₆ (x) + log₂ (x) = 7 ------ note: 4 = 2²; e 16 = 2⁴. Assim, teremos:

log₍₂²₎ (x) + log₍₂⁴₎ (x) + log₂ (x) = 7

Agora veja uma coisa importante: todo INVERSO do expoente da BASE passa multiplicando o respectivo logaritmo. Então teremos isto:

(1/2)*log₂ (x) + (1/4)*log₂ (x) + log₂ (x) = 7 ---- passando os números que estão multiplicando para expoente dos logaritmandos respectivos, teremos:

log₂ (x¹/²) + log₂ (x¹/⁴) + log₂ (x) = 7 ---- como as bases são iguais, então já poderemos transformar a soma em produto, com o que ficaremos assim:

log₂ [(x¹/²)*(x¹/⁴)*x¹] = 7
log₂ [x¹/²⁺¹/⁴+¹/ = 7 ---- veja que 1/2+1/4+1 =(2*1+1*1+4*1)/4 = (2+1+4)/4 = (7/4). Assim, substituindo, teremos:

log₂ (x⁷/⁴) = 7 ---- aplicando a definição de logaritmos, teremos:

2⁷ = x⁷/⁴ ----- vamos apenas inverter, ficando:
x⁷/⁴ = 2⁷ ----- note que 2⁷ = 128. Assim:
x⁷/⁴ = 128 ---- ou, o que é a mesma coisa:
x = ⁷/⁴√(128)-------- note que isto é a mesma coisa que:
x = 128¹/⁽⁷/⁴)  ------ note que 1/(7/4) = 4/7. Assim:
x = 128⁴/⁷ ------ como 128 = 2⁷ ficaremos com:
x = (2⁷)⁴/⁷ ----- desenvolvendo, ficaremos com:
x = 2⁷*⁴/⁷
x = 2²⁸/⁷ ------- como 28/7 = 4, ficaremos com:
x = 2⁴ ------ como 2⁴ = 16, teremos:
x = 16 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b". E note que a raiz encontrada atende à única condição de existência da expressão do item "b".

Assim, o conjunto-solução poderá ser apresentado assim, se você quiser:

S = {16}.
 

c) log₁₀ (x²-1) + log₁₀ (3) = log₁₀ (2x² + 5x - 9)

Vamos para as condições de existência. Como todo logaritmando tem que ser positivo (>0),então deveremos ter que:

x² - 1 > 0 ---->raízes: x' = -1 e x'' = 1. Assim:  x < -1,  ou x > 1.
e
2x² + 5x - 9 > 0 ----> raízes: x' =  (-5-√97)/4 e x'' = (-5+√97)/4 . Assim:

x < (-5-√97)/4 (o que dá bem próximo de "-3,712"), ou x > (-5+√97)/4 (o que dá em próximo de "1,212").

Assim, entre o "x" ser menor do que "-1" e menor do que "-3,712" prevalece ser menor do que "-3,712", pois sendo menor que "-3,712" já o será menor do que "-1".
E entre o "x" ser maior do que "1" e ser maior do que "1,212", prevalece ser maior do que "1,212", pois sendo maior do que "1,212" já o será maior do que "1".
Assim, prevalecem as seguintes condições de existência:

x < - 3,712  ou  x > 1,212 ------- Estas são as únicas condições de existência.

Agora que já temos as condições de existência, vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:


log₁₀ (x²-1) + log₁₀ (3) = log₁₀ (2x² + 5x - 9) ----- como as bases são iguais, então poderemos transformar a soma em produto, com o que ficaremos:

log₁₀ [(x²-1)*3] = log₁₀ (2x² + 5x - 9) ---- ou, o que é a mesma coisa:
log₁₀ [3*(x²-1)] = log₁₀ (2x² + 5x - 9) ----- como as bases são iguais, então poderemos igualar os logaritmandos. Assim:

3*(x² - 1) = 2x² + 5x - 9 ---- efetuando o produto indicado no 1º membro, temos:

3x² - 3 = 2x² + 5x - 9 ----- passando todo o 2º membro para o 1º, temos:
3x² - 3 - 2x² - 5x + 9 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x² - 5x + 6 = 0 ------ se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x' = 2
x'' = 3 .

Logo, como ambas as raízes estão atendendo às condições de existência, então teremos que:

x = 2 ou x = 3 <--- Esta é a resposta para o item "c".

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução assim:

S = {2; 3}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.