Question

*URGENTE*
resolva a equação biquadrada

Answer 1

$\dfrac{x^2 - 2}{x^2 - 4} + 2 = x^2$

Multiplicando e dividindo a segunda fração por $x^2-4$:

$\dfrac{x^2 - 2}{x^2 - 4} + 2\cdot \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 4} = x^2$

Fazendo a distributiva na segunda fração:

$\dfrac{x^2 - 2}{x^2 - 4} +\dfrac{2\cdot x^2 - 8}{x^2 - 4} = x^2$

$\dfrac{x^2 - 2 + 2\cdot x^2 - 8}{x^2 - 4}= x^2$

$\dfrac{3 \cdot x^2- 10}{x^2 - 4}= x^2$

Multiplicando por $x^2-4$ de ambos os lados:

$\dfrac{3 \cdot x^2- 10}{x^2 - 4} \cdot (x^2 - 4)= x^2 \cdot (x^2 - 4)$

$3 \cdot x^2- 10= x^4 - 4 \cdot x^2$

Passa tudo para a direita:

$0= x^4 - 4 \cdot x^2 - 3 \cdot x^2 + 10$

$x^4 - 7 \cdot x^2+ 10 = 0$

Farei uma substituição de variáveis: $X = x^2$

$X^2 - 7 \cdot X + 10 = 0$

Chegamos a uma equação quadrática da forma:

$a \cdot X^2 + b \cdot X + c = 0$

Resolvemos utilizando a equação de Bhaskara:

$X = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Com a = 1, b = -7 e c = 10:

$X = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2-4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

$X = \dfrac{7 \pm \sqrt{49-40}}{2}$

$X = \dfrac{7 \pm \sqrt{9}}{2}$

$X = \dfrac{7 \pm 3}{2}$

As duas soluções para X são:

$X_1 = \dfrac{7 + 3}{2}$

$X_1 = \dfrac{10}{2}$

$X_1 = 5$

e:

$X_2 = \dfrac{7 - 3}{2}$

$X_2 = \dfrac{4}{2}$

$X_2 = 2$

Precisamos voltar para a variável inicial, x. Sabendo que:

$X = x^2$

$X_1 = x_1^2$

$5 = x_1^2$

$\boxed{x_1 = \pm \sqrt{5}}$

e:

$X_2 = x_2^2$

$2 = x_2^2$

$\boxed{x_2 = \pm \sqrt{2}}$