Question

URGENTE! Questões sobre Função Exponencial. De preferência, bem explicadas passo a passo.

Answer 1

1)

A função $N(t) = 1000.2^{t}$ fornece a quantidade de bactérias N, para qualquer tempo "t". Deseja-se determinar o tempo t em que a quantidade de bactérias será 512000. Assim, queremos saber:

t = ? para N(t) = 512000. Logo:

$N(t) = 1000.2^{t} \\ 512000 = 1000.2^{t} \\ \frac{512000}{1000} = 2^{t} \\ 512 = 2^{t}$

Fatorando 512, teremos que $512 = 2^{9}$ então:

$2^{t} = 2^{9}$

Se as bases são iguais, os expoentes também devem ser, portanto t = 9.
Alternativa B.

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2. No 9º mês a alga passou a ocupar a área total do lago. Vamos calcular qual foi essa área, ou seja, o valor da função A(x) quando x = 9

$A(x) = 3.2^{x-1} \\ A(9) = 3.2^{9-1} \\ A(9) = 3.2^{8}\\ A(9) = 3.256\\ A(9) = 768$

Então, a área total do lago é de 768 m². 

Agora vamos calcular o tempo que essa alga levaria para atingir uma área equivalente a 1/8 da área total, que calculamos e é igual a 768

1/8 de 768 = 1/8 . 768 = 768/8 = 96 m²

Ou seja, qual o tempo em que a área será de 96 m²? 
Em outras palavras, x = ? para que A(x) = 96:

$A(x) = 3.2^{x-1}\\ 96 = 3.2^{x-1}\\ \frac{96}{3} =2^{x-1}\\ 32 = 2^{x-1}$

Fatorando 32, teremos que $32 = 2^{5}$, então:

$2^{5} = 2^{x-1}$

Comparando os expoentes, 

x-1 = 5
x = 5+1
x = 6

Portanto, alternativa B

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3. Queremos calcular qual é o tempo em que a quantidade de bactérias será de 11700, ou seja

t = ? para que N(t) = 11700 (Basta substituir N(t) na fórmula por 11700 e encontrar t)

 $N(t) = 1300.3^{ \frac{t}{7} }\\ 11700 = 1300.3^{ \frac{t}{7} }\\ \frac{11700}{1300} = 3^{ \frac{t}{7} }\\ 9 = 3^{ \frac{t}{7} }\\ 3^{2} = 3^{ \frac{t}{7} }$

Comparando os expoentes:

$\frac{t}{7} =2\\ t = 2 . 7 \\ t = 14$

Alternativa C.

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4. Para saber o que acontece a cada mês, teremos que calcular a quantidade de peixem em um mês qualquer e a quantidade no mês seguinte. Vamos calcular a quantidade nos meses 1 e 2 por exemplo. (poderia ser 3 e 4, 4 e 5, 15 e 16... )

$N(t) = 500. 1,02^{t}\\ \\ N(1) = 500. 1,02^{1}\\ N(1) = 500. 1,02\\ N(1) = 510 \\ \\ N(2) =500. 1,02^{2}\\ N(2) =500. 1,0404\\ N(2) =520,2$

Ou seja, de um mês para o outro, a quantidade está aumentando. Mas, aumentando quanto?

Veja que o aumento foi de 510 para 520,2. Um aumento de:

520,2 - 510 = 10,2

10,2 representa que porcentagem de aumento, ou seja, 10,2 representa quantos por cento de 510? Podemos fazer assim:
510 => 100%
10,2 =>  x

510x = 100 . 10,2
510x = 1020
x = 1020/510
x = 2

Logo, se a população de peixes aumentou 10,2, essa quantidade em porcentagem é 2%. Houve um aumento de 2%...

E isso acontece em todo mês: de um mês para o outro a população cresce 2%

Alternativa B.