URGENTE QUESTÃO DE FUNÇÃO a) Qual é o número de raízes não reais de f? b) Obtenha os valores de a, b e c. c) Resolva a equação f(x) = 0
Soluções para a tarefa
Gabarito:
a) 0 raízes não reais
b) a = 1, b = -7, c = 6
c) x = -3, x = 2, x = 1
Explicação:
Primeiro, note que a funcao contém três termos desconhecidos: a, b e c. Da função, sabemos os pontos: (0,6), (2,0), (-3,0) então vamos substituir um a um de modo a encontrar os valores desconhecidos.
- Ponto (0,6)
6 = a.0^3 + b.0 + c
6 = 0 + 0 + c
c = 6
- Ponto (2,0)
0 = a.2^3 + b.2 + 6
-6 = 8a + 2b (÷ -3)
3 = -4a - b <= equação 1
- Ponto (-3,0)
0 = a.(-3)^3 + b.(-3) + 6
-6 = -27a - 3b (÷ -3)
2 = 9a + b <= equação 2
Resolvendo o sistema da equação 1 com 2, temos:
5 = 5a
a = 1
Então:
2 = 9.1 + b
b = 2 - 9
b = -7
Logo, a função se resume a:
f(x) = x^3 - 7x + 6
Perceba que como duas raízes conhecidas são -3 e 2 podemos fatorar a expressão acima como um produto do tipo:
f(x) = (x-1).(x-2).(x+3)
Dessa forma é fácil resolver f(x) = 0, basta igualar cada parcela a 0.
(x-1) = 0 => x = 1
(x-2) = 0 => x = 2
(x+3) = 0 => x = -3
Finalmente, existem 3 raízes que são reais e podem ser observadas no gráfico (intersecção com o eixo x).
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