Question

URGENTE!!!!!

Quando devemos adicionar a
${x}^{4} + {x}^{2} + 1$
Para obter

$( {x}^{2} + x + {1})^{2}$
Me ajudem por favor.

Answer 1

Primeiramente vamos ver quanto (x² + x + 1)² vale.

(a + b + c)² = (a + b + c).(a + b + c) = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ca + cb + c²

Ou seja,

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2.(ab + ac + bc)

Sendo assim,

(x² + x + 1)² = (x²)² + x² + 1² + 2.(x².x + x².1 + x.1)
                   = x^4 + x² + 1 + 2x³ + 2x² + 2x
                   = x^4 + 2x³ + 3x² + 2x + 1

Queremos somar algo a x^4 + x² + 1 para obter x^4 + 2x³ + 3x² + 2x + 1

Vamos chamar esse algo de y.

y + x^4 + x² + 1 = x^4 + 2x³ + 3x² + 2x + 1
y = x^4 - x^4 + 2x³ + 3x² - x² + 2x + 1 - 1
y = 2x³ + 2x² + 2x

Answer 2

Vamos lá.

Veja, MichelleHester, que a resolução parece simples. 
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. 

i) Pede-se para informar quanto teremos que acrescentar à expressão (x⁴ + x² + 1) para obtermos (x² + x + 1)². 

ii) Veja: vamos chamar de um certo "k" o valor que deveremos acrescentar à primeira expressão (x⁴ +x² + 1) para chegarmos a (x² + x + 1)². Então vamos armar a lei de formação da forma como ela deverá ser, ou seja: vamos aumentar "k" à expressão (x⁴ + x² + 1) e vamos igualar a (x²+x+1)² . Assim teremos:

x⁴ + x² + 1 + k = (x² + x + 1)² ----- desenvolvendo o quadrado do 2º membro, teremos: 

x⁴ + x² + 1 + k = x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1 

Agora vamos isolar "k", passando todo o restante do 1º membro para o 2º membro, com o que ficaremos assim: 

k = x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1 - x⁴ - x² - 1 ---- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro, iremos ficar apenas com:

k = 2x³ + 2x² + 2x <--- Esta é a resposta. Ou seja, é isso que deveremos acrescentar a (x⁴ + x² + 1) para obter (x² + x + 1)². 

É isso aí. 
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.