Question

URGENTE!!!!!!!!!!!!!! QUAL O POLIGONO REGULAR QUE POSSUI 90 DIAGONAIS?

Answer 1

O polígono regular que possui 90 diagonais é um Pentadecágono.

• Para determinar qual polígono possui 90 diagonais precisamos da relação entre a quantidade de diagonais de um polígono e sua quantidade de lados.

• Considere:

d: quantidade de diagonais de um polígono.

n: quantidade de vértices de um polígono.

• Observe o hexágono da figura anexa.
• Do vértice A saem cinco segmentos; AB, AC, AD, AE, AF e AG. Dois deles são lados (AB e AF), os outros três são diagonais, e não há como traçar um segmento do vértice A para o próprio vértice A.
• Portanto de cada vértice saem uma quantidade de diagonais igual à quantidade de vertices menos três (menos três porque subtraímos dois segmentos que são lados e aquele que não se pode traçar de A para A).
• Pode-se inicialmente dizer então que a quantidade total de diagonais (d) que se pode traçar é igual à quantidade de vértices (n) vezes a quantidade de vértices menos três, ou seja: d = n × (n − 3).
• Mas observe que se contamos todos os n vértices, estaríamos contando cada diagonal duas vezes, então para obter a quantidade correta de diagonais basta dividir essa quantia por dois.

$\Large \sf d = \dfrac{n \times (n-3)}{2}$

• Em qualquer polígono a quantidade de vértices é igual à quantidade de lados, então o valor n pode ser a quantidade de lados ou vértices.

• Para determinar qual polígono possui 90 diagonais, na fórmula obtida substitua d por 90 e determine o valor de n.

$\large \sf 90 = \dfrac{n \times (n-3)}{2}$  ⟹  Multiplique ambos os membros por 2.

180 = n × (n − 3) ⟹  Efetue a operação distributiva da multiplicação.

180 = n² − 3n ⟹ Subtraia 180 de ambos os membros.

0 = n² − 3n − 180

n² − 3n − 180 = 0

• Solucione essa equação do segundo grau por seu método preferido.

• Sendo o coeficiente de n² igual a 1, pode-se resolver essa equação do segundo grau por "soma e produto de raízes" usando a fórmula:

n² − S·n + P = 0

onde:

S: soma das duas raízes

P: produto das duas raízes.

• Compare a equação com a fórmula:

n² − 3n − 180 = 0

m² − S·n + P = 0

• Por comparação:

−S⋅n = −3n ⇒ S = 3  

+P = −180 ⇒ P = −180

• Encontre dois números (as raízes que são a solução dessa equação) que somados resulta 3 e multiplicados resulta −180.

• Se a soma é positiva então o número maior é positivo.

• Os pares de números cujo produto é −180 são:

−1 e 180 ⇒ S = 179 e P = −180 (Não serve pois a soma não é 3)

−2 e 90 ⇒ S = 50 e P = −180 (Não serve pois a soma não é 3)

…

−12 e 15 ⇒ S = 3 e P = −180 (Serve)

• Através de cálculo mental: os dois números são −12 e 15.
• Escreva o conjunto solução.

S = {−12, 15}

• Descarte o valor negativo pois n representa a quantidade de lados do polígono.

• A quantidade de lados do polígono é 15 então o polígono é um Pentadecágono.

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