Question

Urgente!!! qual o limite sem usar l'hopital?​

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos calcular o seguinte limite sem utilizar a regra de L'Hôpital:

$\underset{x\rightarrow\frac{1}{2}}\lim~\dfrac{\sqrt[4]{2x}-1}{\sqrt{2x-1}}$

Primeiro, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, isto é:

$\underset{x\rightarrow\frac{1}{2}}\lim~\dfrac{\sqrt[4]{2x}-1}{\sqrt{2x-1}}\cdot\dfrac{\sqrt[4]{2x}+1}{\sqrt[4]{2x}+1}$

Aplicamos a propriedade do produto da soma pela diferença: $(a^2+b^2)\cdot(a^2-b^2)=a^4-b^4$.

$\underset{x\rightarrow\frac{1}{2}}\lim~\dfrac{2x-1}{(\sqrt{2x-1})\cdot(\sqrt[4]{2x}+1)}$

Então, aplique a propriedade de potência: $\dfrac{a}{\sqrt{a}}=\dfrac{a}{a^{\frac{1}{2}}}=a^{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$

$\underset{x\rightarrow\frac{1}{2}}\lim~\dfrac{\sqrt{2x-1}}{\sqrt[4]{2x}+1}$

Observe que tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas em $x=\dfrac{1}{2}$, logo aplicamos as propriedades: $\underset{x\rightarrow c}\lim~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\underset{x\rightarrow c}\lim~f(x)}{\underset{x\rightarrow c}\lim~g(x)}$ e $\underset{x\rightarrow c}\lim~f(x)=f(c)$.

$\dfrac{\underset{x\rightarrow\frac{1}{2}}\lim~\sqrt{2x-1}}{\underset{x\rightarrow\frac{1}{2}}\lim~\sqrt[4]{2x}+1}\\\\\\\ \dfrac{\sqrt{2\cdot\dfrac{1}{2}-1}}{\sqrt[4]{2\cdot\dfrac{1}{2}}+1}$

Multiplique e some os valores

$\dfrac{\sqrt{1-1}}{\sqrt[4]{1}+1}\\\\\\ \dfrac{\sqrt{0}}{1+1}\\\\\\ \dfrac{0}{2}$

Então, calcule a fração

$0$

Este é o valor deste limite.