Question

URGENTE qual a solução para este limite: lim (y√x-2y-√x+2)/(4-x+x√y-4√y) x->4 y->1

Answer 1

Calcular o limite da função de duas variáveis

     $\lim\limits_{(x,\,y)\to (4,\,1)}~\dfrac{y\sqrt{x}-2y-\sqrt{x}+2}{4-x+x\sqrt{y}-4\sqrt{y}}$


Fatore o numerador e o denominador de forma conveniente:

     $\displaystyle=\lim_{(x,\,y)\to (4,\,1)}~\frac{y\cdot (\sqrt{x}-2)-1\cdot (\sqrt{x}-2)}{(4-x)-\sqrt{y}\cdot (4-x)}\\\\\\ =\lim_{(x,\,y)\to (4,\,1)}~\frac{(\sqrt{x}-2)\cdot (y-1)}{(4-x)\cdot (1-\sqrt{y})}\\\\\\ =\lim_{(x,\,y)\to (4,\,1)}~\frac{(\sqrt{x}-2)\cdot (y-1)}{(x-4)\cdot (\sqrt{y}-1)}$


Faça duas mudanças de variável:

     $\left\{\! \begin{array}{lcl} v=\sqrt{x}&\quad\Rightarrow\quad&v^2=x\\\\ w=\sqrt{y}&\quad\Rightarrow\quad&w^2=y \end{array} \right.$

e temos que  $(v,\,w)\to (2,\,1)$  quando  $(x,\,y)\to (4,\,1).$


Dessa forma, o limite fica

     $\displaystyle=\lim_{(v,\,w)\to (2,\,1)}~\frac{(v-2)\cdot (w^2-1)}{(v^2-4)\cdot (w-1)}\\\\\\ =\lim_{(v,\,w)\to (2,\,1)}~\frac{(v-2)\cdot (w^2-1^2)}{(v^2-2^2)\cdot (w-1)}$


Fatore as diferenças entre quadrados usando produtos notáveis (produto da diferença pela soma):

     $=\lim\limits_{(v,\,w)\to (2,\,1)}~\dfrac{(v-2)\cdot (w-1)\cdot (w+1)}{(v-2)\cdot (v+2)\cdot (w-1)}$


Simplifique os fatores comuns  (v − 2)  e  (w − 1)  que apareceram no numerador e no denominador:

     $=\lim\limits_{(v,\,w)\to (2,\,1)}~\dfrac{w+1}{v+2}\\\\\\ =\dfrac{1+1}{2+2}\\\\\\ =\dfrac{2}{4}\scriptsize\begin{array}{l} \div 2\\\\\div 2 \end{array}$

     $=\dfrac{1}{2}\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$


Bons estudos! :-)