Matemática, perguntado por mariapaula12379, 7 meses atrás

urgente, preciso pra agora

N= 2¹+2²+2³+....2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵, qual é o último algarismo ( algarismo das unidades do número N)?​

Soluções para a tarefa

Respondido por rbgrijo
9

an = a1. q^n-1

an = 2. 2^n-1

an = 2^(1+n-1)

an = 2^n


mariapaula12379: obrigada
Respondido por elizeugatao
10

\text N = 2^1+2^2+2^3+...+2^{2014}+2^{2015}

Isso é a soma de uma PG, onde :

\text a_1 = 2   ,   \text q = 2  ,  \text n = 2015

Soma dos termos de uma PG :

\displaystyle \text S_\text n = \frac{\text a_1(\text q^{\text n}-1) }{\text q -1}

substituindo os respectivos valores :

\displaystyle \text S = \frac{2( 2^{2015}-1) }{2 -1}

\displaystyle \text S = 2( 2^{2015}-1)

\displaystyle \text S = 2^{2016}-2

Agora vamos usar um pouco de teoria dos números e analisar algum padrão nos múltiplos de 2 :

2^1=2\\2^2=4\\2^3=8\\2^4 = 16 \\2^5 = 32 \\2^6 = 64 \\2^7 = 128 \\2^8 = 256\\2^9 = 512 \\2^{10} = 1024 \\2^{11} = 2048\\2^{12} = 4096 \\.\\.\\.

Observe os algarismos das unidades, existe um padrão.

A partir do 2^4, note que os algarismos das unidades sempre repete na sequência : 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, ...

Então a cada quatro múltiplos de 2 a partir do 2^4, nós temos a mesma sequência repetindo.  

Então, vamos ver quanto falta pra chegar do expoente 4 ao 2016 :

2016 - 4 = 2012

Então ainda temos 2012 termos para analisar, maas 2012 é divisível por 4.

Então a sequência acontece em :

\displaystyle \frac{2012}{4} = 503 vezes.

Então do 2^4 até o 2^{2016} o mesmo ciclo de repetição (6, 2, 4, 8) acontece 503 vezes.

Então no 2^{2016} tem o algarismo das unidades sendo 8.

Então voltando pra soma dos termos :

\displaystyle \text S = 2^{2016}-2

Algarismo das unidades 8 menos 2 é igual  6

Portanto o último algarismo das unidades do número N vale 6


mariapaula12379: mtooo obrigada meu anjo
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