Question

urgente, preciso pra agora

N= 2¹+2²+2³+....2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵, qual é o último algarismo ( algarismo das unidades do número N)?​

Answer 1

an = a1. q^n-1

an = 2. 2^n-1

an = 2^(1+n-1)

an = 2^n

Answer 2

$\text N = 2^1+2^2+2^3+...+2^{2014}+2^{2015}$

Isso é a soma de uma PG, onde :

$\text a_1 = 2$   ,   $\text q = 2$  ,  $\text n = 2015$

Soma dos termos de uma PG :

$\displaystyle \text S_\text n = \frac{\text a_1(\text q^{\text n}-1) }{\text q -1}$

substituindo os respectivos valores :

$\displaystyle \text S = \frac{2( 2^{2015}-1) }{2 -1}$

$\displaystyle \text S = 2( 2^{2015}-1)$

$\displaystyle \text S = 2^{2016}-2$

Agora vamos usar um pouco de teoria dos números e analisar algum padrão nos múltiplos de 2 :

$2^1=2\\2^2=4\\2^3=8\\2^4 = 16 \\2^5 = 32 \\2^6 = 64 \\2^7 = 128 \\2^8 = 256\\2^9 = 512 \\2^{10} = 1024 \\2^{11} = 2048\\2^{12} = 4096 \\.\\.\\.$

Observe os algarismos das unidades, existe um padrão.

A partir do $2^4$, note que os algarismos das unidades sempre repete na sequência : 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, ...

Então a cada quatro múltiplos de 2 a partir do $2^4$, nós temos a mesma sequência repetindo.  

Então, vamos ver quanto falta pra chegar do expoente 4 ao 2016 :

$2016 - 4 = 2012$

Então ainda temos 2012 termos para analisar, maas 2012 é divisível por 4.

Então a sequência acontece em :

$\displaystyle \frac{2012}{4} = 503$ vezes.

Então do $2^4$ até o $2^{2016}$ o mesmo ciclo de repetição (6, 2, 4, 8) acontece 503 vezes.

Então no $2^{2016}$ tem o algarismo das unidades sendo 8.

Então voltando pra soma dos termos :

$\displaystyle \text S = 2^{2016}-2$

Algarismo das unidades 8 menos 2 é igual  6

Portanto o último algarismo das unidades do número N vale 6